图像中的傅立叶变换（二）

上一篇文章讲了傅立叶变换的本质。这篇文章会总结一下傅立叶变换的常用性质，公式巨多，慎入！慎入！

相关概念

首先，回顾一下傅立叶变换的公式：

$$F(u)=\frac{1}{M}\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-2j\pi (ux/M)}$$

频谱(spectrum)

由上面的公式可以看出，傅立叶变换得到的系数 $F(u)$ 是一个复数，因此可以表示为：$F(u)=R(u)+jI(u)$，其中，$R(u)$ 是实部，$I(u)$ 是虚部。傅立叶变换的频谱被定义为：

$$|F(u)|=\sqrt{R^2(u)+I^2(u)}$$

相位谱(phase)

根据欧拉公式，我们知道 $R(u)$ 代表的是一个余弦值，而 $I(u)$ 则是正弦值。如果把 $F(u)$ 看作一个向量 $(R(u), I(u))$，则这个向量的夹角为 $\phi(u)=\arctan{[\frac{I(u)}{R(u)}]}$。这个夹角也被称为相位谱。

能量谱(power)

能量谱其实就是频谱的平方：$P(u)=|F(u)|^2=R^2(u)+I^2(u)$。

常用性质

周期性

所谓周期性，即：

$$F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N)$$

证明如下：

$$\begin{eqnarray} F(u+M,v+N)&=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi [(u+M)x/M+(v+N)/N]} \\ &=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi [(u+M)x/M+(v+N)y/N]} \\ &=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}e^{-j2\pi (x+y)} \end{eqnarray}$$

注意，$e^{-j2\pi (x+y)}={(e^{-j2\pi})}^{x+y}=1^{(x+y)}=1$，所以

$$F(u+M,v+N)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}=F(u,v)$$

类似地，可以推出

$$f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)$$

共轭对称性

回忆一下，在复数域中，共轭指的是虚部取反。即 $z=x+jy$ 的共轭是 $z*=x-jy$。

在傅立叶变换中，存在以下共轭对称性：

$$F(u,v)=F*(-u,-v)$$

证明如下：

$$\begin{eqnarray} F*(-u,-v)&=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{ux/M+vy/N} \\ &=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)[\cos{[2\pi (ux/M+vy/N)]}-j\sin{[2\pi(ux/M+vy/N)]}] \text{（注意共轭）} \\ &=&F(u,v) \end{eqnarray}$$

那么这个性质有什么用呢？注意，$|F*(-u,-v)|=|F(-u,-v)|$，换句话说，$|F(u,v)|=|F(-u,-v)|$。

要知道，$|F(u,v)|$ 表示的是傅立叶频谱图，所以，共轭对称性表明，傅立叶的频谱图是中心对称的。

具体地，下图所示的傅立叶频谱图，四个对角上的能量是沿图片中心对称的。

平移性

平移性指的是：

$$f(x-x_0,y-y_0) \Leftrightarrow F(u,v)e^{-j2\pi (ux_0/M+vy_0/N)} \tag{1}$$

这个等价关系的意思是说，如果原图 $f(x,y)$ 平移了 $(x_0,y_0)$ 个单位，那么平移后的图像对应的傅立叶变换为 $F(u,v)e^{-j2\pi (ux_0/M+vy_0/N)}$，即在原来 $F(u,v)$ 的基础上乘上 $e^{-j2\pi (ux_0/M+vy_0/N)}$。

这个公式的证明很简单。平移前的公式为：

$$f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}$$

现在，原图的像素由 $(x,y)$ 平移到 $(x-x_0,y-y_0)$，因此，我们只需要将 $(x-x_0,y-y_0)$ 代入上式即可：

$$\begin{eqnarray} f(x-x_0,y-y_0)&=&\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi [(x-x_0)u/M+(y-y_0)v/N]} \\ &=&\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-j2\pi(ux_0/M+vy_0/N)}e^{j2\pi (ux/M+vy/N)} \end{eqnarray}$$

在保持原来的基底向量不变的情况下，我们只需要将傅立叶系数变成 $F(u,v)e^{-j2\pi(ux_0/M+vy_0/N)}$ 即可。

同样的，如果频谱图发生平移，有如下关系成立：

$$F(u-u_0,v-v_0)\Leftrightarrow f(x,y)e^{j2\pi (u_0 x/M+v_0 y/N)} \tag{2}$$

证明的方法是类似的。

从平移关系中，我们可以得到一个很好的性质。注意，在复数中，有这样两个等式成立 $|e^{aj}e^{bj}|=|e^{aj}||e^{bj}|$、$|e^{jx}|=1$（不懂的请复习复数相关的内容）。应用到上面的结论，即 $|F(u,v)e^{-j2\pi (ux_0/M+vy_0/N)}|=|F(u,v)|$。换句话说，原图平移后，傅立叶频谱图不变。

例如，对于下面两幅图（为了保持图片大小不变，我们在图片外围补了一层 ‘0’ 边界）：

它们对应的傅立叶频谱图都是这个样子的：

注意，四个角上的白点代表低频信号的分量。

另外，我们平时经常用的中心化操作也依赖于平移性和周期性。

所谓中心化，就是将频谱图平移 $(M/2, N/2)$ 个单位。由平移性的公式 (2)，可以得到：

$$\begin{eqnarray} F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2}) &\Leftrightarrow& f(x,y)e^{j2\pi (\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y)} \\ &=&f(x,y)e^{j\pi(x+y)} \\ &=&f(x,y){e^{j\pi}}^{(x+y)} \\ &=&f(x,y)(-1)^{x+y} \end{eqnarray}$$

所以，我们只要对原图的每个像素乘以 $(-1)^{x+y}$，然后进行傅立叶变换，这样得到的频谱图便是中心化后的频谱图了。

如果对上一幅频谱图中心化，则可以得到：

这么做的目的是为了方便肉眼观察。中心化后，频谱图中心对应的便是低频分量，远离中心的，则是高频分量。

卷积定理

卷积定理表述为：

$$f(x,y)*h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \\ F(u,v)*H(u,v) \Leftrightarrow f(x,y)h(x,y)$$

（注意，右边式子表示的是矩阵的点乘运算，而不是矩阵乘法）

它的意思是说，在空间域内进行卷积运算，跟把它们转换到频率域再进行点乘运算，效果是等价的。

要证明这个定理，首先要知道卷积的定义（关于卷积的定义，可以参考这篇知乎的回答）：

$$f(x,y)*h(x,y)=\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)$$

然后，我们对等式两边同时进行傅立叶变换（注意，傅立叶变换是针对x、y进行的，m、n相关的式子可以看作常数）：

$$\begin{eqnarray} F[f(x,y)*h(x,y)]&=&F[\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)] \\ &=&\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)F[h(x-m,y-n)] \\ \end{eqnarray}$$

由之前的平移性，我们知道：$h(x-m,y-n)\Leftrightarrow H(u,v)e^{-j2\pi (um/M+vn/N)}$ 。所以上式中的 $F[h(x-m,y-n)]=H(u,v)e^{-j2\pi (um/M+vn/N)}$，这样，我们便得到：

$$\begin{eqnarray} F[f(x,y)*h(x,y)]&=&\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)F[h(x-m,y-n)] \\ &=&\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)H(u,v)e^{-j2\pi (um/M+vn/N)} \\ &=&\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)e^{-j2\pi (um/M+vn/N)} H(u,v) \\ &=&F(u,v)H(u,v) \end{eqnarray}$$

上面的 $\sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(m,n)e^{-j2\pi (um/M+vn/N)}$ 刚好凑成一个傅立叶变换 $F(u,v)$。所以我们最终证明：$f(x,y)*h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v)$。

另一个式子 $F(u,v)*H(u,v) \Leftrightarrow f(x,y)h(x,y)$ 的证明是类似的。

参考

• 如何通俗易懂地解释卷积？
• 图像处理中的数学原理详解17——卷积定理及其证明