图像中的傅立叶变换（一）

关于傅立叶变换，知乎上已经有一篇很好的教程，因此，这篇文章不打算细讲傅立叶的物理含义，只是想从图像的角度谈一谈傅立叶变换的本质和作用。

本文假设读者已经熟知欧拉公式：

\[e^{j\pi x}=\cos{\pi x}+j\sin{\pi x} \]

并且知道高数课本中给出的傅立叶变换公式：

\[f(x) ～ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n \cos{nx}+b_n\sin{nx}]} \]

其中 \(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{nx}}dx\)，\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\sin{nx}}dx\)。

当然，线性代数也还是要懂一些的。

图像的表示

傅立叶变换本质上是把信号从时空域变换到频率域。但在图像里面，这个本质又说明什么呢？

为了搞清楚这一点，我们先回顾一下，什么是图像。

通常来说，我们看到的计算机里的图像是一个二维矩阵：

比如，上面这个只有四个像素点的图片，就是一个这样的矩阵（不要在意数值大小，你可以把它们归一化到常用的 0～255 区间，但本质上它们表达的信息是一样的）：

\[\begin{bmatrix} 0.4 & 0.6 \\ 0.8 & 0.2 \end{bmatrix} \]

假设图像是 \(f(x)\)，这个 \(f(x)\) 就是我们常说的信号。这个信号表面上看是一个矩阵，其实它是由几个最基本的向量的线性组合产生的：

\[f(x)=0.4 \times \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+0.6 \times \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+0.8 \times \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}+0.2 \times \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

如果看到这里你有一种恍然大悟的感觉，那你差不多快摸清傅立叶的套路了。

其实，从线性代数的角度出发去思考问题，你会发现，图像这种信息是由一些最基本的元素组合而成的。这些元素在线性代数中被称为基向量，它们构成的集合称为基底。选择不同的基底，信息就可以有多种不同的表示。例如上图中，我们选择的是最常见的基底：

\[\{\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\} \]

在这组基底下，图片就表示为：\(\begin{bmatrix} 0.4 & 0.6 \\ 0.8 & 0.2 \end{bmatrix}\)。

如果换成另外一组基底，就会得到另一种表示。甚至，在计算机视觉中，我们常常会提取图像的语义信息，把图像转换到其他一些高维空间。但不管怎样，它们本质上都是从某一个特殊的角度来表示图像这一信息，只是不同的基底下，表示出来的特征有所不同，有些适合肉眼观看，有些适合计算机识别。

那傅立叶变换是想干嘛？其实就是换了另一种基底（正/余弦函数）来表示图像。傅立叶变换之所以重要，是因为它所采用的基底具有一些非常好的性质，可以方便我们对图像进行处理。

傅立叶变换

这一节中，我们就来看看，如何把图像用傅立叶的基底表示出来，也就是我们常说的图像的傅立叶变换。

首先，要明确，在一组基底下，信息的表示是什么。回到上一节的例子，\(f(x)=\begin{bmatrix} 0.4 & 0.6 \\ 0.8 & 0.2 \end{bmatrix}\)，有没有发现，在特定基底下，信息是用这些基底线性组合的权重来表示的。只要我们有了这些权重信息，就可以用基底向量的线性组合把信息恢复出来。

因此，对于傅立叶变换而言，我们要求的其实就是基底的权重。

那傅立叶变换的基底是什么呢？如果你看过前面说的那篇教程，你会发现，傅立叶是用无穷多个三角函数的叠加来逼近原来的信号。因此，对于傅立叶变换而言，它的基底其实就是这些三角函数，而我们要求的则是这些函数的线性组合参数。

回到最开始的傅立叶公式：

\[f(x) ～ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n \cos{nx}+b_n\sin{nx}]} \]

有没有看到，这个公式已经揭示了这些三角函数的系数，也就是我们要求的线性组合参数。公式前面的 \(a_0\) 是可以统一进去的。下面，我们就从它出发，看看如何推导出统一的参数表示。

（⚠️以下是公式重灾区，恐惧者可直接跳到结论部分）

首先，我们考虑更一般的情况，即函数 \(f(x)\) 的周期是 \(T\)（上面这个公式的周期是 \(2\pi\)），然后将 \(f(x)\) 表示成另一种形式：

\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty {[a_n\cos{\frac{2n\pi x}{T}}+b_n \sin{\frac{2n\pi x}{T}}]} \]

其中，\(a_0=\frac{1}{T}\int_0^T{f(x)dx}\)，\(a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^T{f(x)\cos{\frac{2n\pi x}{T}dx}}\)，\(b_n=\frac{2}{T}\int_0^T{f(x)\sin{\frac{2n\pi x}{T}dx}}\)。

注意，这个表示和之前的公式没有本质区别。

接下来，对 \(f(x)\) 进行一系列操作：

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&a_0+\sum_{n=1}^\infty {[a_n\cos{\frac{2n\pi x}{T}}+b_n \sin{\frac{2n\pi x}{T}}]} \\ &=&a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n\cos{\omega_nx+b_n\sin{\omega_nx}}]} \\ &=&a_0+\sum_{n=1}^\infty{[a_n(\frac{e^{j\omega_n x}+e^{-j\omega_n x}}{2})+b_n(\frac{e^{j\omega_n x}-e^{-j\omega_n x}}{2j})]} \\ &=&a_0+\sum_{n=1}^\infty{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}+\sum_{n=1}^\infty{(\frac{a_n+jb_n}{2})e^{-j\omega_nx}}} \end{eqnarray} \]

其中，\(\omega_n=\frac{2n\pi}{T}\)。

下一步，继续化简括号里的东西：

\[\begin{eqnarray} \frac{a_n-jb_n}{2}&=&\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos{\omega_n x\ dx-j\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin{\omega_nx\ dx}}] \\ &=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)[\cos{\omega_n x-j\sin{\omega_n x}}]\ dx \\ &=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-j\omega_n x}}\ dx \\ &=&c_n \end{eqnarray} \]

其中，\(c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-j\omega_n x}}\ dx\)。

用上面的结果化简公式右边的内容：

\[\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty{(\frac{a_n+jb_n}{2})e^{-j\omega_n x}}&=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{(\frac{a_{-n}+jb_{-n}}{2})e^{-j\omega_{-n}x}} \\ &=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}} \\ &=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}} \\ &=&\sum_{n=-\infty}^{-1}{c_n e^{j\omega_n x}} \end{eqnarray} \]

这样一来，我们就得到一个统一的表达式：

\[\begin{eqnarray} f(x)&=&a_0+\sum_{n-1}^{\infty}{(\frac{a_n-jb_n}{2})e^{j\omega_n x}+\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{a_n+jb_n}{2})e^{-j\omega_n x}}} \\ &=&c_0+\sum_{n=1}^{\infty}{c_ne^{j\omega_n x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}c_n e^{j\omega_n x}} \\ &=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_ne^{j\omega_n x}} \end{eqnarray} \]

码了这么多公式后，我们终于得到了一个关于三角函数的线性组合的形式。再经过傅立叶变换后，函数 \(f(x)\) 就变成了一个向量的形式：\({[\dots, c_{-n}, \dots, c_0, c_1, c_2, \dots, c_n, \dots]}\)。这里的 \(c_n\) 就是我们通常说的傅立叶变换，而公式中的 \(e^{j\omega_nx}\) 就是傅立叶变换的基底。

接下来，我们想知道，对于一张图片而言，这个 \(c_n\) 该怎么求。

我们先考虑一维的情况（你可以想象成一个宽度为 \(N\)，高度为 1 的图片）。在公式中，\(c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-j\omega_n x}}\ dx\)，这是对连续函数而言的，但计算机中的图像信号是离散的，因此，我们要把积分符号换成求和符号。另外，周期用图像的宽度代替。这样，我们就得到图像中的傅立叶变换：\(c_n=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)e^{-j\omega_n x}\)。

然后，有同学会问，这样的 \(c_n\) 有多少个呢？在我们前面推导的公式中，\(c_n\) 有无穷多个，这时符合傅立叶的前提假设的：无穷多个三角函数的叠加才能构成原来的信号。但是，计算机只能表示有穷的信息，因此，我们需要进行采样。好在，实际情况中，当 \(n\) 的值越来越大时，\(c_n\) 的值会渐渐趋于 0，因为图片中的高频分量往往比较小，所以这一部分高频的三角函数的系数 \(c_n\) 的值也会很小（公式中，频率 \(\omega_n=\frac{2n\pi}{N}\)，\(n\) 越大也就表明频率越大）。实际操作中，我们会取 \(N\) 个 \(c_n\)，其中 \(N\) 就是图像信号的周期。因此，我们最终得到图像中的傅立叶变换：

\[F(u)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)e^{-j2\pi ux/N} , \ \ u=0,1,...,N-1 \]

公式中的 \(f(x)\) 指的就是图片中 x 位置的像素值，这也说明，傅立叶变换是综合计算图像像素的整体灰度变化后得到的。如果图像中高频信息比较大（即图像灰度变化很剧烈），则对于频率高的基底向量（\(u\) 的值比较大），其对应的权重 \(F(u)\) 的值也会比较大，反之亦然。

傅立叶逆变换

所谓傅立叶逆变换，就是在得到一堆傅立叶变换的参数 \(F(u)\) 后，如何反推回去，得到空间域的图像。

其实非常简单，前面说了，傅立叶变换就是把时空域下的图像信号 \(f(x)\) 重新用频率域的基底来表示。现在，频率域基底向量的系数 \(F(u,v)\) 已经有了，把它们组合起来就可以得到原来的信号：\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_ne^{j\omega_n x}}\)。因此，傅立叶逆变换就是把傅立叶基底向量的系数再累加起来：

\[f(x)=\sum_{u=0}^{N-1}F(u)e^{j2\pi ux/N}, \ \ x=0,1,...,N-1 \]

二维傅立叶

二维傅立叶其实就是在一维的基础上，继续向另一个方向扩展而已，相当于一个二重积分：

\[\begin{eqnarray} F(u, v)&=&\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2\pi ux/M}e^{-j2\pi vy/N} \\ \end{eqnarray} \]

傅立叶逆变换：

\[f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi ux/M}e^{j2\pi vy/N} \]

参考

• 傅里叶分析之掐死教程