坐标系统之间的转换

概要

这篇文章中，我们来聊聊 OpenGL 中的坐标系统以及它们之间的转换。

（⚠️阅读本文需要有线性代数基础。）

坐标变换原理

首先，我们需要运用一点线性代数的知识，了解不同坐标系统变换的原理。
由于本文针对的是三维坐标，所以讨论的空间是 \(R^3\) 空间。

在标准三维坐标系中，我们通常用一个向量 v=[x, y, z] 来表示一个点的位置。这里的 x、y、z 分别对应 x 轴、y 轴以及 z 轴三个方向的偏移，而标准三维坐标空间的基采用的是三个互相垂直的向量 \(\mathbf e_1=[1,0,0]\), \(\mathbf e_2=[0,1,0]\), \(\mathbf e_3=[0,0,1]\)。但根据线性无关等知识，我们完全可以找出另外三个向量作为三维空间的基，只要这三个向量线性无关，同样能够张成 \(R^3\) 空间。

现在，假设坐标系 A 采用的基向量是 {\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \mathbf v_3\)}，坐标系 B 采用的是{\(\mathbf u_1\), \(\mathbf u_2\), \(\mathbf u_3\)}。
那么，根据线性无关性，我们可以得到线性方程组：

\[{\mathbf u_1 = \gamma_{11}\mathbf v1+\gamma_{12}\mathbf v2+\gamma_{13}\mathbf v_3} \]

\[\mathbf u_2 = \gamma_{21}\mathbf v1+\gamma_{22}\mathbf v2+\gamma_{23}\mathbf v_3 \]

\[\mathbf u_3 = \gamma_{31}\mathbf v1+\gamma_{32}\mathbf v2+\gamma_{33}\mathbf v_3 \]

用矩阵方程的形式表示为：

\[\mathbf u = \mathbf M \mathbf v \]

由于 \(\mathbf u\), \(\mathbf v\) 都是三维空间的基，因此，对于三维空间内任意一个向量 \(\mathbf w\)，\(\mathbf u\)、\(\mathbf v\)都可以通过线性组合的方式表示出 \(\mathbf w\)：
\(\mathbf w = \mathbf a^T \mathbf v = \mathbf b^T \mathbf u\)（这里的\(\mathbf a^T\), \(\mathbf b^T\)分别表示不同坐标空间的标量）。
结合前面 \(\mathbf u = \mathbf M \mathbf v\)，进一步得到：\(\mathbf w = \mathbf b^T \mathbf u = \mathbf b^T \mathbf M \mathbf v=\mathbf a^T \mathbf v\)，
继而 ：\(\mathbf a = \mathbf M^T \mathbf b\)，\(\mathbf b = (\mathbf M^T)^{-1} \mathbf a\)。

好了，到这里，关键的东西就讲完了。所以坐标系统的变换很简单有木有！如果你在B坐标系（基向量为{\(\mathbf u_1\), \(\mathbf u_2\), \(\mathbf u_3\)}）中有个向量 \(\mathbf w\)，沿用上面的假设，\(\mathbf w\) 的坐标为 \(\mathbf b\)（即 \(\mathbf w = \mathbf b^T \mathbf u\)），这个时候，我们想求出它在 A 坐标系（基向量为{\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \mathbf v_3\)}）的坐标表示（假设为\(\mathbf a\)），我们只需要求出矩阵 \(\mathbf M\)，则：\(\mathbf a = \mathbf M^T \mathbf b\)。
反之同理。

这个时候，有同学可能会问矩阵 \(\mathbf M\) 怎么求？
假设一个坐标系统的基向量为{\(\mathbf u_1\), \(\mathbf u_2\), \(\mathbf u_3\)}，而另一个系统采用标准向量{\(\mathbf e_1\), \(\mathbf e_2\), \(\mathbf e_3\)}，假设存在关系：\(\mathbf u = \mathbf M^T \mathbf e\)（这个式子的理解是：如果 \(\mathbf M\) 是两个坐标系统的变换矩阵，那么两个系统内的任意向量可以通过这个矩阵相互转换，基向量只不过是特殊的向量，一样可以通过 \(\mathbf M\) 进行转换），那矩阵 \(\mathbf M\) 其实可以表示为 [\(\mathbf u_1, \mathbf u_2, \mathbf u_3\)]。这个结果其实很好理解，只要换种写法：
\(\mathbf u = \begin{bmatrix} \mathbf u_1 \\ \mathbf u_2 \\ \mathbf u_3 \\ \end{bmatrix}\)，\(\mathbf e = \begin{bmatrix} \mathbf e_1 \\ \mathbf e_2 \\ \mathbf e_3 \\ \end{bmatrix}\)，可以发现，\(\mathbf e\)其实是一个单位矩阵。
而如果是非标准坐标系统之间的变换，则需要解一个线性方程组：\(\mathbf u = \mathbf M^T \mathbf v\)，而且可以肯定，这个解存在且唯一。

尽管从上面的推论中我们可以得出，不同坐标系统可以通过一个唯一的 3*3 矩阵 \(\mathbf M\) 来变换，但都是基于坐标原点相同的前提。如果原点也发生变化，这时就必须引入第四个维度来表示平移的偏移量，也就是常说的齐次坐标。
引入第四维后，\(\mathbf u=[\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3,\mathbf p]\)，\(\mathbf v=[\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf q]\)，我们再次用一个矩阵 \(\mathbf M\) 来转换这两个坐标系统，不同的是，这里的 \(\mathbf M\) 是一个 4*4 的矩阵：

\[\mathbf M= \begin{bmatrix} \gamma_{11} & \gamma_{12} & \gamma_{13} & 0 \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} & \gamma_{23} & 0 \\ \gamma_{31} & \gamma_{32} & \gamma_{33} & 0 \\ \gamma_{41} & \gamma_{42} & \gamma_{43} & 1 \\ \end{bmatrix} \]

\[\mathbf u = \mathbf M^T * \mathbf v \]

除了多出一维外，齐次坐标与上面使用的三维坐标本质上没有区别，计算方法也基本一致，在对应到三维坐标系时，只需要舍弃第四个维度即可。

OpenGL中的坐标系统

OpenGL 的坐标系统有六种：

1. Object (or model) coordinates
2. World coordinates
3. Eye (or camera) coordinates
4. Clip coordinates
5. Normalized device coordinates
6. Window (or screen) coordinates

模型坐标系 (Object coordinates) 是每个模型在制作时特有的，如果要把模型放入世界，就需要将所有模型的坐标系转换成世界坐标系 (World coordinates)。世界中的场景需要通过相机被人眼观察，需要将世界坐标系转换成相机坐标系 (Eye coordinates)。从模型坐标系，到世界坐标系，再到相机坐标系的变换，通常称为 model-view transformation，通过 model-view matrix 来实现。
前三种坐标系统通常是由用户指定的，而后三种坐标系统一般都是在 OpenGL 管道中，由程序自己实现的。
而 OpenGL 中坐标系统转换的原理，其实就是上面所讲的那些，只不过在使用时，我们可以使用一些 API 来简化不少工作。

参考

• Interactive Computer Graphics - A Top-Down Approach 6e By Edward Angel and Dave Shreiner (Pearson, 2012)