连续和查询问题

问题定义：连续和查询问题。给定一个\(n\)个元素的数组 \(A_1, A_2, ..., A_n\)，你的任务是设计一个数据结构，支持一个查询操作Query(L, R)，计算\(A_L+A_L+...+A_R\)。

基本的想法：借助前缀和思想，利用\(O(n)\)时间将\(n\)个元素每个元素和前面的和求出，得到\(S_i=A_1+A_2+...+A_i\)。在查询的时候仅仅需要\(O(1)\)的时间。但是如果需要更改区间中的元素，则需要将之前计算出来的前缀和更改，最坏情况下需要更改所有的前缀和，复杂度达到\(O(n)\)。

树状数组：利用树状数组解决动态连续和查询问题，树状数组可以在\(O(log n)\)的复杂度内更改基本想法中的“前缀”。树状数组支持如下两种操作：

• \(Add(x, d)\)操作：让\(A_x\)增加\(d\)
• \(Query(L, R)\)操作：计算\(A_L+A_{L+1}+...+A_R\)

其查询的复杂度也是\(O(logn)\)。

借用了Claris的代码，非常精简适合静静放在程序的最前头当做模板。具体的树状数组原理再写一篇博客。

const int maxn=100000+10;
int bit[maxn];
// 向x位置的元素添加d
inline void add(int x,int d){while(x<=maxn){bit[x]+=d;x+=x&-x;}}
// 求出从1到x的和
inline int sum(int x){int ret=0;while(x>0){ret+=bit[x];x-=x&-x;}}

那么可以使用这两种操作再写出一个函数，来完成查询区间\(Query\)的需求

int query(int l, int r) { return sum(r)-sum(l-1); }