递归问题-河内塔问题

问题：给定一个由8个圆盘组成的塔，这些圆盘按照大小递减的方式套在三根柱桩中的一根上，目的是要将整个塔移动到另一根桩柱上，每次只能移动一个圆盘，且较大的圆盘在移动过程中不能放置在较小的圆盘上面。

方法：先研究小的情形

引入记号：命名并求解

T_n 是根据卢卡斯的规则将n个圆盘从一根桩柱移动到另一根桩柱所需的最少移动次数

那么T₁=1 T₂=3 T₀=0

考虑移动数量为3时情形，将上面两个圆盘移动到中间的桩柱上，然后移动第三个圆盘，接着再把其余两个放到它上面

考虑移动n个圆盘情形：

把n-1个小的圆盘移动到一个不同的桩柱（移动T_n-1次）

然后移动最大的圆盘（需要一次移动）最后再把n-1个小圆盘移回到最大圆盘上面。（需要另外的T_n-1次移动），这样至多移动2T_n-1+1次就能移动n个圆盘（n>0）

Tn≤2T_n-1+1 n>0

没有更好的方法，迟早必须移动最大的那个圆盘，当这样做的时候，n-1个小圆盘必须已经在某根桩柱上，而这至少需Tn-1次移动才能把它们放置到那儿，如果不太精明，则移动最大的圆盘可能会多于一次，在最后一次移动最大的圆盘之后，必须把n-1个小圆盘移回到最大的圆盘上面

这也需要T_n-1 次移动，从而

Tn≥2T_n-1+1 n>0

∴T₀=0

T_n=2T_n-1+1 n>0

连续计算得到规律 T₃=2*3+1=7 T₄=2*7+1=15 T₅=2*15+1 T₆=2*31+1=63

看起来有T_n=2ⁿ-1 （n≥0）

通过数学归纳法进行证明

T₀ =2⁰-1=0

对n>0用归纳法得出

T_n=2T_n-1+1=2（2^n-1-1）+1=2ⁿ-1

由此得证

总结：

1. 研究小情形，有助于我们洞察该问题
2. 对有意义的量求出数学表达式并给出证明
3. 对数学表达式求出封闭形式并予以证明