三路集合不相交（Three-Way Set Disjointness）算法分析

概念介绍

实际上，无论是三路，还是多路，原理是类似的。三路集合不相交，指存在3个由一系列数字组成的集合，在任意集合中，不存在相同的元素。且同时满足：对于任意的x，不存在x $ \in $ A，x $ \in $ B，且x $ \in $ C。

实现一

def disjoint1(A, B, C):
    """Return True if there is no element common to all three lists"""
    for a in A:
        for b in B:
            for c in C:
                if a == b == c:
                    return False   # we found a common vale
    return True                    # if we reach this, sets are disjoint

很显然，三层嵌套，对于集合长度都为n的A，B，C来说，总的时间复杂度为O($ n^3 $)。

实现二

def disjoint2(A, B, C):
    """Return True if there is no element common to all three lists"""
    for a in A:
        for b in B:
            if a == b:                    # only check C if we found match from A and B
                for c in C:
                    if a == C:            # (and thus a == b == c)
                        return False      # we found a common value
    return True                           # if we reach this, sets are disjoint

为了计算总的时间复杂度，需要逐层分析。

• 首先，外层循环A为O(n)，内层循环B为O($ n^2 $)。

• 对于if a== b来说，总共会执行O($ n^2 $)次判断。

• 剩下的时间取决于(a, b)相等的次数。由于集合的互异性，那么a和b相等的次数为n。因为一旦a == b成立，则a不等于在B中除b以外的元素。

• 由于a == b的次数为n，则对于最内层循环及其循环体，其时间复杂度为O($ n^2 $)。

综上，总的时间复杂度仍为O($ n^2 $)。

总结

通过不同的算法时间，可以减少程序执行的时间复杂度，进而对程序进行优化以提高效率。