前缀平均值（Prefix Averages）的三种算法实现分析
概念介绍
对于Python中给定的序列（list），同时存在一个前缀平均值序列。由n个数字组成的序列S，计算一个序列A，A[j]是S[0], S[1]，……，S[j]的平均值，j = 0，……，n - 1。即：$ A[j] = \frac{\sum_{i = 0}^{j} S[i]}{j + 1} $。
实现一
来看第一种实现方式：
def prefix_average1(S):
"""Return list such that, for all j, A[j] equals average of S[0], ..., S[j]."""
n = len(S)
A = [0] * n # create new list of n zeros
for j in range(n):
total = 0 # begin computing S[0] + ... + S[j]
for i in range(j + 1):
total += S[i]
A[j] = total / (j + 1) # record the average
return A
分析：
- n = len(S)， 执行恒定的时间。
- A = [0] * n，初始化序列长度为n，元素的所有值为0，因此，其时间复杂度为O(n)。
- 接着是双层嵌套，外层循环由j控制，执行n次，j = 0，…，n - 1。total = 0和A[j] = total / (j + 1)分别执行n次。因此外层循环的时间复杂度为O(n)。
- 再来看内层循环，total += S[i]，执行次数由i和j共同确定。总共执行1+2+3+…+n = n(n + 1) / 2，因此，总得执行次数为O($ n^2 $)。
综上分析，整个算法的时间复杂度为O($ n^2 $)。
实现二
来看第二种实现方式：
def prefix_average2(S):
"""Return list such that, for all j, A[j] equals average of S[0], ..., S[j]."""
n = len(S)
A = [0] * n # create new list of n zeros
for j in range(n):：
A[j] = sum(S[0: j + 1]) / (j + 1) # record the average
return A
与实现一不同的是，实现二用了一个更简单的计算S[0] + ... + S[j]的方式，即sum(S[0: j + 1])。使用这种方式虽然简化了算法的表达，但仍需要考虑其内部的算法时间复杂度。
观察sum(S[0: j + 1])，首先使用list的切片操作获取子序列，创建一个长度为j + 1的序列，则其时间复杂度为O(j + 1)。则对于循环来说，A[j] = sum([0: j + 1])的时间复杂度仍然为1 + 2 + … + n。
综上分析，则总得时间复杂度仍为O($ n ^ 2 $)。
实现三
最后一种实现方式：
def prefix_average3(S):
"""Return list such that, for all j, A[j] equals average of S[0], ..., S[j]."""
n = len(S)
A = [0] * n # create new list of n zeros
total = 0 # compute prefix sum as S[0] + S[1] + ...
for j in range(n):
total += S[j] # update prefix sum to include S[j]
A[j] = total / (j + 1) # compute average based on current sum
return A
在前两种算法中，对于j的每个值重新计算前缀和。对于每个j，则花费了O(j)的运算时间，总共加起来，则是O($ n ^ 2 $)的时间复杂度。
第三个算法的分析：
- 初始化变量n和total，时间复杂度为O(1)。
- 初始化序列A，时间复杂度为O(n)。
- 对于单个for循环，其时间复杂度为O(n)。
- 循环体执行n次，j = 0, ..., n -1。total += S[j]和A[j] = total / (j + 1)则分别执行n次。
综上分析，该算法的时间复杂度为O(n)。
总结
由此可知，不同的算法实现，会有不同的算法时间复杂度。而随着n的增长，算法时间复杂度的差值会显著增长，这对于实际软件项目的优化也是挺可观的。
