关于SPFA

他死了。

SPFA原理

还是根据图论基本方程进行松弛操作，当无法继续松弛的时候，其实就已经达到了最优化，求出了单源最短路了。

为什么SPFA死了

因为数据很好卡。因为SPFA用的是双端队列，所以对于一些精心构造的图来说，复杂度其实是可以退化到$O(mn)$的。

为什么SPFA死了还要用

因为可以求负环
因为可以求带有负权边的最短路

SPFA和Dijkstra的区别

Dijkstra+heap是用小根堆，每次取出$\text {dis}$最小的点，来更新距离，那么这个点来说，最小距离就是当前的d。
SPFA是用双端队列，每次取出队头，来更新距离，它之后可能还会入队。它是一种动态逼近法，因为每次松弛距离都会减小，所以松弛一定会有结束的。如果一个点入队超过$n$次就是存在负环。
如果是稠密图，Dijkstra + Heap比SPFA快。稀疏图则SPFA更快。SPFA可以有SLF和LLL两种优化，SLF就是$\text {dis}$比队头小就插入队头，否则插入队尾。
Dijkstra和Prim也很相似，它们的区别主要是d的含义，前者是到s的临时最短距离，后者是到树的临时最短距离，相同点是，每次找d最小的更新其它点的距离。

Ref: https://www.cnblogs.com/flipped/p/6830073.html

如何用SPFA判断负环

我们现在来思考一个问题：如果一张图上有$n$个点，那如果一条路径上有超过$n$个点会怎么样？

根据容斥原理，我们必定可以在路径上找到两个相同的点。换句话说，从一个点出发，又回到了这个点。然而整个过程确实求最短路的过程，路程$\text {dis}$不断在优化，所以这个环一定是负环（即路径和为负数）。而一条路径上有超过$n$个点，等价于一条路径有不少于$n$条边。而判断路径有多少条边其实非常容易，我们只需要在做松弛操作的时候更新记录路径条数的$\text {cnt}$数组就可以了：

$$ \text {dis}[u] + g[e].w < \text {dis}[v] \Rightarrow \text {cnt} [v] = \text {cnt} [u] + 1 $$

题目

题目描述

给定一个 $n$ 个点的有向图，请求出图中是否存在从顶点 $1$ 出发能到达的负环。

负环的定义是：一条边权之和为负数的回路。

输入格式

本题单测试点有多组测试数据。

输入的第一行是一个整数 $T$ ，表示测试数据的组数。对于每组数据的格式如下：

第一行有两个整数，分别表示图的点数 $n$ 和接下来给出边信息的条数 $m$ 。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u, v, w$ 。

若 $w \geq 0$ ，则表示存在一条从 $u$ 至 $v$ 边权为 $w$ 的边，还存在一条从 $v$ 至 $u$ 边权为 $w$ 的边。
若 $w < 0$ ，则只表示存在一条从 $u$ 至 $v$ 边权为 $w$ 的边。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个字符串，若所求负环存在，则输出 YES，否则输出 NO。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

NO
YES

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证：

$1 \leq n \leq 2 \times 10^3$ ， $1 \leq m \leq 3 \times 10^3$ 。
$1 \leq u, v \leq n$ ， $-10^4 \leq w \leq 10^4$ 。
$1 \leq T \leq 10$ 。

提示

请注意， $m$ 不是图的边数。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxm = 3005;
const int maxn = 2005;
int ecnt = 2;
int n, m;
int head[maxn], dis[maxn], cnt[maxn];
bool in[maxn];
struct edge { int to, next, w; } g[maxm << 1];
void add_edge(int u, int v, int w) { g[ecnt] = (edge) { v, head[u], w }; head[u] = ecnt ++; }
struct node { int dis, pos; };


bool spfa() {
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		dis[i] = 2e9, in[i] = false;
	queue<node> q;
	dis[1] = 0; q.push((node) { dis[1], 1 });
	cnt[1] = 0; in[1] = true;
	while (!q.empty()) {
		int u = q.front().pos; q.pop();
		in[u] = false;
		for (int e = head[u]; e; e = g[e].next) {
			int v = g[e].to;
			if (dis[v] > dis[u] + g[e].w) {
				dis[v] = dis[u] + g[e].w;
				cnt[v] = cnt[u] + 1;
				if (cnt[v] >= n) return true;
				if (!in[v]) {
					q.push((node) { dis[v], v });
					in[v] = true;
				}
			}
		}
	}
	return false;
}

int main() {
	int T; cin >> T;
	while (T --> 0) {
		ecnt = 2;
		memset(g, 0, sizeof(g));
		memset(head, 0, sizeof(head));
		cin >> n >> m;
		for (int i = 1; i <= m; i ++) {
			int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
			if (w >= 0) {
				add_edge(u, v, w);
				add_edge(v, u, w);
			} else add_edge(u, v, w);
		}
		cout << (spfa() ? "YES" : "NO") << endl;
	}
	return 0;
}

gyro永不抽风

P3385 【模板】负环 - SPFA模板