题目

题目描述

Alice 和 Bob 现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在nn个城市设有业务，设这些城市分别标记为 $0$ 到 $n-1$ ，一共有 $m$ 种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

Alice 和 Bob 现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多 $k$ 种航线上搭乘飞机。那么 Alice 和 Bob 这次出行最少花费多少？

输入格式

第一行三个整数 $n,m,k$ ，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。

接下来一行两个整数 $s,t$ ，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $a,b,c$ ，表示存在一种航线，能从城市 $a$ 到达城市 $b$ ，或从城市 $b$ 到达城市 $a$ ，价格为 $c$ 。

输出格式

输出一行一个整数，为最少花费。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据， $2 \le n \le 50,1 \le m \le 300,k=0$ 。

对于 $50\%$ 的数据， $2 \le n \le 600,1 \le m \le 6\times10^3,0 \le k \le 1$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $2 \le n \le 10^4,1 \le m \le 5\times 10^4,0 \le k \le 10,0\le s,t,a,b\le n,a\ne b,0\le c\le 10^3$ 。

另外存在一组 hack 数据。

题解

由于可以有$k$次免费，这里构建分层图：

有$k+1$层完全一样的图
每条边在层与层之间单向连接，但是费用为0

那么这样构建的图的第$i$层的$t$点就是免费了$i - 1$次的最小费用。

方程：

$$ \text {ans} = \min _ {0 \leq i \leq k} \text {dis} [t_i] $$

常见问题

如何防止从下面的层去上面？单向
如何建图？思考一下OpenCV当中的图像，其实他们的内存地址是连续的，所以我们可以把他们放在一个一维数组当中，只不过开了$n\times k$个点罢了。

图片（Ref @SuperJvRuo）

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#define int long long

using namespace std;

int ecnt = 2;
int n, m, k, s, t;
int head[150005], dis[150005], vis[150005];
struct edge { int to, next, w; } g[3000001];
void add_edge(int u, int v, int w) { g[ecnt] = (edge) { v, head[u], w }; head[u] = ecnt ++; }
void add_edge(int u, int v, int w, int l) { add_edge(u + l * n, v + l * n, w); }

struct node {
	int dis, pos;
	friend bool operator < (const node &a, const node &b) { return a.dis > b.dis; }
};
priority_queue<node> q;

void dijkstra() {
	for (int i = 0; i <= n * (k + 1) + 100; i ++) dis[i] = 8e18;
	dis[s] = 0; q.push((node) { dis[s], s });
	while (!q.empty()) {
		int u = q.top().pos; q.pop();
		if (vis[u]) continue;
		vis[u] = true;
		for (int e = head[u]; e; e = g[e].next) {
			int v = g[e].to;
			if (dis[v] > dis[u] + g[e].w) {
				dis[v] = dis[u] + g[e].w;
				q.push((node) { dis[v], v });
			}
		}
	}
}

signed main() {
	cin >> n >> m >> k >> s >> t;
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
		for (int j = 0; j <= k; j ++) {
			add_edge(u, v, w, j);
			add_edge(v, u, w, j);
		}
		for (int j = 0; j < k; j ++) {
			add_edge(u + j * n, v + (j + 1) * n, 0);
			add_edge(v + j * n, u + (j + 1) * n, 0);
		}
	}
	dijkstra();
	int ans = 8e18;
	for (int i = 0; i <= k; i ++)
		ans = min(ans, dis[t + i * n]);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

gyro永不抽风

P4568 [JLOI2011]飞行路线 - 分层图最短路

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