机器学习笔记(2): Logistic 回归

Logistic 回归是线性回归中一个很重要的部分。

Logistic 函数：

\[\sigma(x) = \frac {L} {1 + \exp(-k(x - x_0))} \]

其中：

• \(L\) 表示最大值
• \(x_0\) 表示对称中心
• \(k\) 表示倾斜度

一般来说，都将 \(L\) 设为 \(1\)，而 \(k\) 和 \(x_0\) 在参数中控制。

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认为特征只有一个，那么自然：

\[p(y = 1 | x) = \sigma(\omega_0 + \omega_1 x) = \frac 1 {1 + \exp(\omega_0 + \omega_1 x)} \]

认为 \(\vec x\) 是特征向量，并且是增广向量，也就是：

\[\vec x = \begin{bmatrix} x_0 & x_1 & \ldots & x_c & 1 \end{bmatrix} \]

认为参数向量也是增广的：

\[\omega = \begin{bmatrix} \omega_0 \\ \omega_1 \\ \vdots \\ \omega_c \\ 1 \end{bmatrix} \]

那么：

\[p(y = 1 | \vec x) = \sigma(\vec x \omega) = \frac 1 { 1 + \exp(\vec x \omega)} \]

对于多组数据，\(X = \begin{bmatrix} \vec x_0 \\ \vec x_1 \\ \ldots \\ \vec x_m \end{bmatrix}\)：

\[p(\vec y = 1 | X) = \sigma(X \omega) \]

注意最终得到是一个向量，\(\sigma\) 函数作用于向量中的每个单独的元素。

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利用交叉熵作为损失函数：

\[R(\omega) = - \frac 1 m \sum_{n = 1}^m \left(y_n \log \hat y_n + \left(1 - y_n \right)\log \left(1 - \hat y _n \right) \right) \]

其中 \(\hat y\) 表示预测分类，而 \(y\) 表示实际分类。

由于 \(\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))\)，自然的可以推出其偏导数：

\[ \begin{aligned} \frac \partial {\partial \omega} R(\omega) &= - \frac 1m \sum \left( y_n \frac {\hat y_n (1 - \hat y_n)}{\hat y_n} x_n + (1 - y_n) \frac {- \hat y_n (1 - \hat y_n)}{1 - \hat y_n} x_n \right) \\ &= - \frac 1m \sum \left( y_n - \hat y_n \right) x_n \\ \end{aligned} \]

写成向量形式也就是：

\[- \frac 1 m (\hat y - y) \cdot x \]

于是利用梯度下降算法：

\[\omega = \omega - \frac \alpha m X^T {\Large (}\sigma(X \omega) - y{\Large )} \]

代码和梯度下降函数十分相似。

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Feature Mapping

合理的利用线性回归可以解决很多复杂的问题。

大概率我们需要一个类似于圆的东西才可以拟合。

考虑到在高中我们学过：

\[C: Ax^2 + B y^2 + C x + D y + F =0 \]

可以表示一个圆，那么我们就可以利用重映射：

\[(x, y) \to \begin{bmatrix} 1 & x & y & xy & x^2 & y^2 \end{bmatrix} \]

的方式将特征向量进行一点点简单的变换，那么自然就变成了对于多个参数的线性回归问题，一种可能的拟合是：

当然，我们也可以更复杂的利用这些参数，例如 \(x^3\)，\(\sqrt x\)，\(\frac 1 x\) 之类的参数，这取决于我们想要如何去拟合。

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正则化参数

和平方损失函数的正则化方式一模一样，见 机器学习笔记(1): 梯度下降算法

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代码

function g = sigmoid(z)
	g = 1.0 ./ (1.0 + exp(-z));
end

function [J, grad] = costFunctionReg(theta, X, y, lambda)
	m = length(y);
	H = sigmoid(X * theta);
	temp = theta;
	temp(1) = 0;
	J = 1 / m * (- y' * log(H) - (1 - y)' * log(1 - H)) + temp' * temp * lambda / 2 / m;
	grad = 1 / m * (X' * (H - y)) + lambda / m * temp;
end

function theta = train(X, y, lambda)
	initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);
	options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
	[theta, J, exit_flag] = ...
		fminunc(@(t)(costFunctionReg(t, X, y, lambda)), initial_theta, options);
end
	
function p = predict(theta, X)
	m = size(X, 1);
	H = sigmoid([ones(m, 1) X] * theta);
	p = H >= 0.5;
end

其实整体的代码都非常的简单并且简洁。

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Softmax Regression

其实就是多分类的 Logistic 回归：

\[p(y = c | \vec x) = {\rm softmax}(\vec x W) = \frac {\exp(\vec x W_c)}{\sum_{k = 1}^C \exp(\vec W_k)} \]

其中 \(C\) 表示分类数，而 \(W = \begin{bmatrix} \omega_1 & \omega_2 & \ldots & \omega_C \end{bmatrix}\)，其中 \(\omega_i\) 就表示某一个 Logistic 函数的参数。

由于其实就是多个 Logistic 函数，所以其偏导数和参数学习过程非常相似：

\[W = W - \frac \alpha m X^T \left( \sigma(X W) - Y \right) \]

值得注意的是，对于每一个 \(\omega_i\) 减去同一个 \(\theta\) 结果不会改变，意味着一般都需要正则化。

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One VS All Classifier

其实就是多次 Logistic 回归。

function [J, grad] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda)
m = length(y);
H = sigmoid(X * theta);
temp = theta;
temp(1) = 0;
J = 1 / m * (- y' * log(H) - (1 - y)' * log(1 - H)) + temp' * temp * lambda / 2 / m;
grad = 1 / m * (X' * (H - y)) + lambda / m * temp;

end

function [all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels, lambda)
	m = size(X, 1);
	n = size(X, 2);
	
	all_theta = zeros(n + 1, num_labels);
	X = [ones(m, 1) X];
	
	options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 300);
	for c = 1:num_labels
		initial_theta = zeros(n + 1, 1);
		[theta] = ...
			fmincg(@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == c), lambda)), ...
				initial_theta, options);
		all_theta(:, c) = theta;
	end
end

function p = predictOneVsAll(all_theta, X)
	m = size(X, 1);
	X = [ones(m, 1) X];
	H = X * all_theta;
	[_, p] = max(H, [], 2);
end

也就是对于每一个分类来一次线性回归而已，并没有什么特别之处。