前置知识：离散傅里叶变换
傅里叶变换在上文中更多的是 OI 中的理解以及应用。但是傅里叶变换奥秘还很多。
回顾 \(\omega_n\) 在傅里叶变换中的定义：\(e^{i \frac {2\pi} n}\)，存在 \(\omega_n^n = 1\) 的性质。意味着离散傅里叶变换实际上是周期性的，这也变相的解释了为什么存在循环卷积的性质。
傅里叶级数
我们回顾什么是傅里叶级数。傅里叶断言，对于任何周期信号 \(x(t)\) 都可以表示为成谐波关系的虚指数信号的线性组合，即：
\[x(t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t}
\]
虽然后来证明当 \(x(t)\) 满足狄里赫利条件时才成立……
周期信号 \(x(t)\) 满足存在一个正值 \(T\) 满足：
\[\forall t, x(t) = x(t + T)
\]
最小的 \(T\) 称为基波周期，\(w_0 = \frac {2\pi} T\) 称为基波频率。
如果我们知道了一个 \(x(t)\) 该如何求 \(a_k\) 呢？
利用积分：
\[\int_0^T x(t) e^{-jn \omega_0 t} dt = \int_0^T \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} e^{-jn \omega_0 t} dt
\]
将后面变形：
\[\int_0^T \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} e^{-jn \omega_0 t} dt = \sum_k a_k \left[ \int_0^T e^{j(k - n)\omega_0 t} dt \right]
\]
注意到：
\[\int_0^T e^{j(k - n)\omega_0 t} dt = \int_0^T \cos[(k - n)\omega_0 t] dt + i \int_0^T \sin[(k - n) \omega_0 t] dt
\]
中，存在：
\[\int_0^T \sin[(k - n) \omega_0 t] dt = \begin{cases}
T & k = n \\
0 & k \ne n
\end{cases}
\]
所以：
\[a_k = \frac 1 T \int_0^T x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt
\]
DCT 变换与 DFT 的联系
DCT 实际上就是 DFT 的一种特殊形式。
在傅立叶级数的推导中：
\[\int_0^T \sin[(k - n) \omega_0 t] dt = \begin{cases}
T & k = n \\
0 & k \ne n
\end{cases}
\]
是非常有趣的。
这反映出了如果对一个周期为 \(T\)，并且周期内是个奇函数的函数 \(\int_0^T\)，结果一定 \(= 0\)，反之不为 \(0\)。
那么我们考虑将一个一般的周期信号变成一个周期内的偶函数，这样和 \(\sin\) 这个奇函数相乘后还是奇函数，积分出来也就没了，从而使得 DFT 的虚部没了。
上面所说的连续的情况，但是实际上离散的情况也是一样。
考察 DFT 的式子：
\[b_k = \sum_{i = 0}^{n - 1} \omega_n^{ik}a_i
\]
令 \(m = 2n\)，使得 \(a_k = a_{m - k - 1}\)，那么其 DFT：
\[b_k = \sum_{i = 0}^{m - 1} \omega_m^{ik} a_i = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_i \left(\omega^{ik} + \omega^{(2n-k-1)k}\right)
\]
发现并不优美，考虑将幂平移 \(\frac k 2\)：
\[\begin{aligned}
b_k &= \sum_{i = 0}^{m - 1} a_i \omega^{ki + \frac k 2} \\
&= \sum_{i = 0}^{n - 1} a_i \left[ \left(\cos \frac {\pi k (i + \frac 12)} n + \cos \frac {- \pi k (i + \frac 12)} n \right) + i\left(\sin \frac {\pi k (i + \frac 12)} n + \sin \frac {- \pi k (i + \frac 12)} n \right) \right] \\
&= 2 \sum_{i = 0}^{n - 1} a_i \cos \frac {\pi k(i + \frac 12)} n
\end{aligned}
\]
中间是利用 \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\) 展开推导而来。
发现虚部直接没了，这符合前面得出的结论。
然后我们成功的学会了 DCT。
IDCT
由于 DCT 本质上就是 DFT，所以 IDCT 本质上就是 IDFT。所以理解是简单的了。
