算法学习笔记(44): 二维问题小计

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收起

首先需要理解什么是二维问题。

$n$ 维空间体系：将元素变成 $n$ 维空间中的点，将范围变成 $n$ 维空间中的正交范围。

二维问题就是每一个元素都可以看作一个平面上的坐标 $(x, y)$。其中一维可以是下标，时间，值，dfn，甚至是一个函数 $(x, f(x))$。

经典的二维问题实际上就是矩形加，矩形取 $\max$，单点查，线查，矩形查。

而二维问题一般是通过某种建模方式变成上述操作进行操作。

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• $\color{blue} \bf \Delta$ 区间一次问题

例如给定序列，多次询问一个区间是否有重复的数。

虽然这原本是一个一维问题，但是可以升维更简单的处理。

• 解法 $1$：经典方法，令 $pre_i$ 表示 $i$ 前面第一个与它相同的位置，那么一个区间没有重复的数当且仅当 $\max_{i = l}^r pre_i \lt l$，于是升维之后变成了一个简单的区间 $\max$ 问题。
• 解法 $2$：将每一种数单独处理，设 $f_x(i)$ 表示值为 $x$ 的第 $i$ 个数的位置，那么一个区间 $[l, r]$ 如果只被 $x$ 覆盖了一次，那么需要满足 $l \in (f_x(i), f_{x}(i + 1)]$，$r \in [f_x(i + 1), f_x(i + 2))$。将询问看作二维平面上的一个点，那么被贡献到的矩形有 $O(n)$ 个，而一个区间全部都只出现了一次，那么它一定被贡献的区间长度次，于是问题转化为矩形加，单点查的问题，只是需要离线，并且常数略大。
• 解法 $3$：类同解法 $2$，只是考虑被 $x$ 覆盖了不止一次的区间，那么需要满足 $l \le f_x(i)$，$r \ge f_x(i + 1)$，这样的矩形也是 $O(n)$ 个的。
• ……或许还有更多的想法

对于解法 $1$ 可以看作一个很好的套路，被玩烂了，但是解法 $2/3$ 就非常有意思。

我们首先将每一个点对于区间的贡献拆了出来，也就是拆贡献。将自由度为二的问题看作了平面上的点，拆除的贡献是一个矩形贡献，那么就可以变成经典的二维问题了。

例：BZOJ#3489. A simple rmq problem 在 $[l,r]$ 之间找到最大的在这个区间里只出现过一次的数。

这用 解法 $1$ 其实也可做，但是如果需要判断一个数是否只是出现了一次，那么不仅需要前驱 $pre_i$，还需要后继 $post_i$，当 $i \in [l, r]$，$pre_i \lt l$ 并且 $post_i \gt r$ 的时候才可以对答案做出贡献，这是一个三维偏序问题，利用 cdq 分治可以做到 $O(n \log^2 n)$ 的复杂度。

利用 解法 $2$ 来做无论是代码还是思路都将十分的简单，因为我们只需要将提及的矩形加贡献变为矩形取 $\max$ 贡献即可，利用扫描线与 set 可以做到 $O(n \log^2 n + q \log n)$ 的复杂度，注意到这个是可以转化为可持久化线段树支持在线的。

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• $\color{blue} \bf \Delta$ 换维扫描线

将动态的一维问题转化为静态的二维问题，实际上就是增加了时间这一维度。

这里的换维扫描线实际上就是将对于时间维的扫描线（动态的一维问题）转化为对于序列的扫描线（另一个动态的一维问题）

例如维护一个序列，支持：

• 区间 $+$
• 单点求历史最值

这道题实际上可以利用历史版本最值线段树完成……但是这里不是讲这个的。

历史版本最值线段树可以参考：# 算法学习笔记(34): 矩阵乘法与线段树标记。

如果我不会这个神秘的科技怎么办？如果以序列为横坐标，时间为纵坐标：

那么区间修改形如红线，而查询最值形如蓝线

上下略微有些颠倒，不过问题不大。

如果我们竖着来扫描线，那么修改就变成了单点修改，而蓝线也就是前缀查询。

而历史最值呢？实际上也就是一个前缀最值问题，这是容易维护的。

• 例题：UR #19 前进四 维护一个序列 $A$，单点修改，查询某个后缀后缀最小值的个数。

首先对于每次询问暴力做是简单的，注意到我们只需要维护两个变量：$mn, cnt$ 表示后缀最小值和变化的次数。

每次 $mn \leftarrow \min(mn, A_i)$，如果 $mn$ 改变了，那么 $cnt \leftarrow cnt + 1$。

我们对于其多加一个下标 $t$，那么 $mn_t \leftarrow \min(mn_t, A_{t, i})$。

注意到 $A_{t, i}$ 在 $i$ 固定的时候有若干连续段的值是相等的，这样的段是 $O(q)$ 的，考虑同统一进行上述转移，其实也就是换维扫描线，那么问题转化为维护一个序列：

• 区间取 $\min$
• 单点查询一个点被取 $\min$ 变小的次数

这是 seg beats 需要完成的事，不在本文讨论范畴内。

还有一些利用这个方法完成的题：

• [Ynoi Easy Round 2021] TEST_152
• [JOISC2021] 饮食区
• [IOI2021] 分糖果

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我们说了序列上的二维问题，对于树上的二维问题又是什么呢？

• $\color{blue} \bf \Delta$ 树上二维问题

一般来说，我们需要利用 dfn 序的映射，因为它具有很好的性质。

• 例：定义一个点对 $(i, j)$ 是好的当且仅当：$\exists k \in N^{*}, \left \lfloor \frac{i}{k} \right \rfloor = j$。给定一棵 $n$ 个点的树，树上点的权值互不相同，每次询问给定一个路径 $(x,y)$，问路径上多少个点对 $(u, v)$ 满足 $u \ne v$ 且 $(a_u, a_v)$ 是好的。$1 \le n, q, V \le 5 \times 10^4$。

对于每一个 $x$ 可以 $O(\sqrt m)$ 预处理出可以与那些点形成贡献，考虑这些点对会对那些路径造成贡献。

• 点对非祖孙关系，那么如果路径两个端点分别在点对的子树内，那么可以被贡献。
• 点对为祖孙关系，若 $x$ 是浅的那个，那么一个端点 $\le dfn_x$ 或者 $\ge dfn_x + siz_x$，另一个端点 $\ge dfn_y$ 且 $\lt dfn_y + siz_y$。

发现将左右端点看作二维平面上的点，那么一个点对会导致 $O(1)$ 个矩形加法，于是扫描线即可，可持久化之后可以强制在线。

• 例：用 $n$ 个节点建出了了两棵有根树，询问两棵树某两个子树内的节点是否有交。

同一个节点在两个树上的 dfn 是不同的，所以自然是一个二维的元素。

由于子树内的 dfn 是一段连续的区间，那么问题转化为判定一个矩形内是否存在一个点，那么也就是经典的二维数点问题，随便做啦。

这个问题实际上是 [IOI2018] werewolf 狼人 的后半部分，前一半部分是 kruskal 重构树，可见：# 算法学习笔记(30)：Kruskal 重构树

一道强化的问题，带修：Intersection of Permutations。

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所以讲来讲去，二维问题到底是怎样的一个问题，有没有什么通法来解决呢？个人理解，仅供参考

二维问题，大部分情况下是表面上的一维问题。但是一维能够维护的信息太少太少了，所以需要更多的信息，例如时间，数值来增加可以维护的信息量，从而更好的解决问题。

而通法……我太菜了，没有通法