字符串杂记

Cage 字符串听课笔记

关于 Z 函数

这东西不能说和 Manacher 一模一样，只能说两模两样。

都是充分的利用 $Z$ 最大的那个的信息，继承过来拓展。

在 Manacher 里面是 $P[2C - i]$，这里是 $Z[i - l + 1]$。然后就随便暴力就行了。

关于 border

神秘的性质……他们是怎么想到的？

P5287 给到的技术是 KMP 自动机，利用可持久化线段树做到 $O(n \log |\Sigma|)$ 的复杂度不均贪的完成 KMP 的匹配过程。考虑 KMP 的过程，实际上是跳 fail 树上第一个具有 c 出边的点，观察到每次只会修改一个点，可持久化就简单了。对于本题来说正是利用这个过程，只是稍微抽象了一点，因为一次加了多个相同的字符，那么可持久化就需要一个 tuple。转移的时候增加的是一个等差数列，继承答案转移即可。

然而对于 JOJO 这道题来说，还有一种与 border 性质更相关的做法。注意到 period 可以被划分为 $O(\log n)$ 个等差数列，实际上 fail 树也可以被划分为若干的等差数列，并且，$x$ 到根的链上也只有 $O(\log n)$ 次变换，那么如果据此链剖分，那么就可以做到 $O(n \log n)$ 的复杂度，与 $|\Sigma|$ 没有关系了。然而我实际是不会写的。

关于 SAM

• 在 SAM 上 $lcp(i, j)$ 就是 $i, j$ 对应点在 parent 树上 $\mathrm{lca}$ 的 $\mathrm{len}$。P4248
• 可以利用倍增找到某个子串的出现次数。P3649
• 串的匹配，放在 SAM 节点上转移即可，如果没有就跳 link，注意更新长度 P6640。本题中还需要狠狠注意匹配的单调性，设 $len_i$ 表示从 $i$ 开始最长的公共串长，虽然 $len_i$ 不满足单调性，但是 $i + len_i$ 是满足的，考虑不可能存在包含的情况。于是就是一个简单的二分和 RMQ 问题。
• 出现与非出现的问题，CF427D，考虑出现一次的串，那么在 SAM 上的体现就是为叶子，对应的长度就是只出现一次的长度。两个串都要满足的话就需要建立两个 SAM，一个作为模板，一个提前记录位置即可。
• 两个自动机内的问题 P4608 善用记忆化即可。

关于 SEQAM

参考：# 算法学习笔记(90): 序列自动机

仍然注意可以利用可持久化线段树完成 $O(n \log n)$ 构建。

1295C - Obtain The String 超简单。

关于广义 SAM

两种写法。

• 离线将所有串建出 Trie，然后在其上 bfs，正常的插入 SAM 即可。
• 在线，还是正常的 SAM，但是特判，参考 题解 的代码。大概就是将有 ch[p][c] 的情况特判出来，其他都是一样的。

关于字典序的比较

最简单也最万能的就是二分哈希找第一个不同，直接判断即可。

序列最小表示法也可以用这个方法比较做到 $O(n \log n)$。