线性代数
- 域 \(F\),
OI
中常用的域是 \(\Z_{p^c}\)。
- \(n\) 维向量 \(\vec x \in F^n\),其中 \(x_i \in F\),注意向量是列向量。
- \(F^n\) 向量/线性空间,满足线性性
- 八个性质,\(u, v, w \in V\),\(c, d \in F\)
- \(u + v = v + u\)
- \((u + v) + w = u + (v + w)\)
- 存在 \(0\) 元
- \(\exists (-u) \in F \quad u + (-u) = 0\)
- \(1u = u\)
- \(c(u + v) = cu + cv\)
- \((c + d)u = cu + du\)
- \(c(du) = (cd)u\)
- 矩阵:\(M \in F^{n \times m}\)。
- 线性变换:\(f: V \to V, f(u + v) = f(u) + f(v), f(cx) = cf(x)\)
- 乘向量:\(F^m \to F^n\)。
- 乘矩阵,线性变换的复合(可以这么理解,结果仍然是线性变换。
- 有限集合下
- 向量线性独立:\(\not \exists i ~ v_i = \sum_{j \ne i} \alpha_i v_j\)
- 张成 \(\mathrm{span}(\{v_1, \ldots, v_n\}) = \{v | \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, \alpha_i \in F\}\)。
- 线性空间的基 \(B\) 是一组线性独立,张成 \(V\) 的向量集
- \(\dim (V) = \mathrm{card} (B)\)。
- 无限集合下
- 线性独立:所有有限子集线性独立
- 张成:所有有限子集张成的并
- 子空间 \(W \subseteq V\) 注意 \(W\) 也是线性空间
- \(0 \in W\),\(W \bigcap V = W\)。
- 矩阵 —— 列空间
- 秩 \(\mathrm{rank}\):列空间的维度
- 满秩矩阵:方阵,秩 = 行数
- \(A\) 满秩 \(\iff (A x = 0 \iff x = 0)\)
- \(\mathrm{rank}(A + B) \le \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B)\)
- 逆矩阵:\(A A^{-1} = A^{-1} A = I\),不存在当且仅当不满秩。
- \(\det A = \sum_P (-1)^{inv(P)} \prod_{i = 1}^n a_{i, P_i}\).
- \(\det I = 1\)
- 基本变换:
- 交换行:\(\det \leftarrow -\det\)
- 行数乘:\(\det \leftarrow c \det\)
- 行加上另一行:\(\det\) 不变。
- 满秩 \(\iff \det \ne 0\)。
- 矩阵树定理:
- \(L = D - A, \det(L_{[0]}) = \sum_T \prod_{e \in T} w(e)\)。
- P6624, CF578F
- LGV 引理
- 对于 DAG 和若干起点,终点,令 \(M_{i,j} = A_i\) 到 \(B_j\) 的方案数。
- 那么 \(\det M\) 是不交路径的方案数。
- P7736, gym102978A
- 特征值/多项式
- \(Ax = \lambda x \to \det (A - \lambda I) = 0\),求特征值即求解上述方程。
- 特征多项式:\(P_A = \det(A - \lambda I)\) 是关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式
- 矩阵的迹:对角线的和
- \([\lambda^n]P_A = (-1)^n\)
- \([\lambda^{n - 1}] P_A = (-1)^{n - 1} tr(A)\)
- \([\lambda^0] P_A = \det A\)
- 代数闭域:\(\forall f ~ \exists x (f(x) = 0)\)。
- \(P_A = \prod \lambda_i - \lambda\)
- \(\sum \lambda_i = tr(A)\)
- \(\prod \lambda_i = \det (A)\)
- 谱范数 \(A^T A\) 的最大特征值的平方根(\(A\) 的最大奇异值)
- 谱分解(对角化)
- \(AQ = Q\Lambda \to A = Q \Lambda Q^{-1} \to A^k = Q \Lambda^k Q^{-1}\)。
- ……
- 马尔克夫矩阵:
- \(A 1 = 1, A\),考虑随机游走的过程
- \(A\) 有特征值 \(\lambda = 1\)。
- ……
- 计算几何
- 多项式技巧
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2023-12-29 21:39
jeefy
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