zkq 数学听课笔记

合集 - 讲课笔记(6)

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6.zkq 数学听课笔记2023-12-29

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线性代数

• 域 $F$，OI 中常用的域是 $\Z_{p^c}$。
• $n$ 维向量 $\vec x \in F^n$，其中 $x_i \in F$，注意向量是列向量。
  • $F^n$ 向量/线性空间，满足线性性
    • 八个性质，$u, v, w \in V$，$c, d \in F$
      1. $u + v = v + u$
      2. $(u + v) + w = u + (v + w)$
      3. 存在 $0$ 元
      4. $\exists (-u) \in F \quad u + (-u) = 0$
      5. $1u = u$
      6. $c(u + v) = cu + cv$
      7. $(c + d)u = cu + du$
      8. $c(du) = (cd)u$
• 矩阵：$M \in F^{n \times m}$。
  • 线性变换：$f: V \to V, f(u + v) = f(u) + f(v), f(cx) = cf(x)$
  • 乘向量：$F^m \to F^n$。
  • 乘矩阵，线性变换的复合（可以这么理解，结果仍然是线性变换。
• 有限集合下
  • 向量线性独立：$\not \exists i ~ v_i = \sum_{j \ne i} \alpha_i v_j$
  • 张成 $\mathrm{span}(\{v_1, \ldots, v_n\}) = \{v | \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, \alpha_i \in F\}$。
  • 线性空间的基 $B$ 是一组线性独立，张成 $V$ 的向量集
    • $\dim (V) = \mathrm{card} (B)$。
• 无限集合下
  • 线性独立：所有有限子集线性独立
  • 张成：所有有限子集张成的并
• 子空间 $W \subseteq V$ 注意 $W$ 也是线性空间
  • $0 \in W$，$W \bigcap V = W$。
• 矩阵 —— 列空间
  • 秩 $\mathrm{rank}$：列空间的维度
  • 满秩矩阵：方阵，秩 = 行数
  • $A$ 满秩 $\iff （A x = 0 \iff x = 0)$
  • $\mathrm{rank}(A + B) \le \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B)$
  • 逆矩阵：$A A^{-1} = A^{-1} A = I$，不存在当且仅当不满秩。
    • CF1070L, CF963E
• $\det A = \sum_P (-1)^{inv(P)} \prod_{i = 1}^n a_{i, P_i}$.
  • $\det I = 1$
  • 基本变换：
    • 交换行：$\det \leftarrow -\det$
    • 行数乘：$\det \leftarrow c \det$
    • 行加上另一行：$\det$ 不变。
  • 满秩 $\iff \det \ne 0$。
  • 矩阵树定理：
    • $L = D - A, \det(L_{[0]}) = \sum_T \prod_{e \in T} w(e)$。
    • P6624, CF578F
  • LGV 引理
    • 对于 DAG 和若干起点，终点，令 $M_{i,j} = A_i$ 到 $B_j$ 的方案数。
    • 那么 $\det M$ 是不交路径的方案数。
    • P7736, gym102978A
• 特征值/多项式
  • $Ax = \lambda x \to \det (A - \lambda I) = 0$，求特征值即求解上述方程。
  • 特征多项式：$P_A = \det(A - \lambda I)$ 是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式
    • 矩阵的迹：对角线的和
    • $[\lambda^n]P_A = (-1)^n$
    • $[\lambda^{n - 1}] P_A = (-1)^{n - 1} tr(A)$
    • $[\lambda^0] P_A = \det A$
  • 代数闭域：$\forall f ~ \exists x (f(x) = 0)$。
  • $P_A = \prod \lambda_i - \lambda$
    • $\sum \lambda_i = tr(A)$
    • $\prod \lambda_i = \det (A)$
  • 谱范数 $A^T A$ 的最大特征值的平方根（$A$ 的最大奇异值）
  • 谱分解（对角化）
    • $AQ = Q\Lambda \to A = Q \Lambda Q^{-1} \to A^k = Q \Lambda^k Q^{-1}$。
    • ……
• 马尔克夫矩阵：
  • $A 1 = 1, A$，考虑随机游走的过程
  • $A$ 有特征值 $\lambda = 1$。
  • ……
• 计算几何
  • 平面凸包，闵和
  • 旋转卡壳
  • 半平面交
  • ……
• 多项式技巧
  • NTT：有限域下的 FFT
  • 另一种卷积的方式