陈峻宇高级图论讲课笔记

合集 - 讲课笔记(6)

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离线哩！

竞赛图

竞赛图确实抽象，性质一堆一堆的，想不明白……而且多半都和强连通分量有关系。

兰道定理

考虑一共有 $n \choose 2$ 条边，那么 $\sum out_x = \binom n2$。

兰道定理大致就是如果竞赛图强连通，那么：

$$\not \exists k \in [1, n), \sum_{x = 1}^k out_x = \binom k 2$$

大概就是说，如果存在一个 $\sum_{x = 1}^k out_x = \binom k2$，那么这里面的出度就不会向外连，那么就是说内部强连通。

D. Invertation in Tournament 当 $n$ 很小的时候状压枚举方案，用兰道定理是简单的，但是在 $n$ 很大（$> 6$）的时候呢？存在性质：

• 当 $n \ge 4$ 时，如果原图强连通，那么一定存在一个 $n - 1$ 的强连通子图。
• 当 $n \gt 6$ 是，至多只需要 $1$ 次操作。

证明是繁琐的，不太会。但是得到这个性质之后，这就简单了。

欧拉回路

和偶数度数，二分图有点般配。

CF527E Data Center Drama 加边定向，大概就是说，贪心的将所有边的度数变成 $2$ 的倍数。但是注意到如果此时边数为奇数，那么挂，所以需要加一条自环，在保证不新增奇数点的情况下多一条边。然后跑欧拉回路，将相邻的两条边反向即可。

Mike and Fish 很类似，注意到欧拉回路会将度数分为一半入度，一半出度，那么就完了。相差 $1$ 就是用来调整奇偶的。

MST

来点抽象的东西。

新年的繁荣 非常抽象，如何处理与最大生成树？沿用 trie，大概就是说将所有 1 子树合并到 0 上，然后贪心即可，这是 $O(m 2^m)$ 的，利用 Bov... 做到 $O((n + 2^m) m \log n)$。然而还有神秘的做法，既然连最大的边是对的，那么考虑在值域上从大到小，类似状压的考虑即可，见 https://uoj.ac/submission/669485。

MST and Rectangles 也很抽象。还是 Bov...，只是多了一个扫描线。