TQX 的 DP AAgain！

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闲话：
这确实抽象，将所有人给干离线了……
不如叫做 TQX 的离线 DP QwQ

DP

基本思路就是找一个比较好的能够描绘问题的状态,想怎么转移,再进行优化。

--TQX

背包 DP

loj 6089. 小 Y 的背包计数问题

根号分治优化背包，大概就是利用 $cnt \times siz \ge cap$ 将多重变为完全，然后统一转移。

区间 DP

复杂度越高的题越难？（雾

区间 DP 简单的就是 $f_{l, r}$ 这个限制，但是常常来说这是无法解决问题的（除非实在简单

所以需要辅助以与问题相关的信息，例如 $\max, \min, \cdots$ 才能进行转移。

值得注意的是区间 DP 的常数很小，如果枚举了 $n$ 个位置（单调）那么将带有 $\frac 1 {n!}$ 的常数！所以 $O(n^7)$ 不是梦，$50$ 也能过。

P5336 [THUSC2016] 成绩单 大概说的就是转移代价与 $\min, \max$ 相关但是与区间内有什么无关，那么就在区间 DP 同时维护最大/最小是什么即可，复杂度 $O(n^5)$

AGC035D Add and Remove 很抽象的区间 DP，大概是说这次我们不顺着来考虑了，从外到内考虑。发现删除中间那个数，会对左右两边各做一次贡献，那么我们可以设 $f_{i, j, x, y}$ 表示 $i, j$ 分别对左右两边做 $x, y$ 次贡献的最小代价。最终答案就是 $f_{1, n, 1, 1}$，那么转移也就简单了，中间那个会对左边来 $x$ 次，右边来 $y$ 次，也就是左边区间内的东西对两侧分别 $x + y, y$，右边则是 $x, x + y$，那么递归下去搜索即可。

[AGC039E] Pairing Points 区间计数 DP……敢信 $O(n^7)$ 能过！大概是说要善于利用 树 的性质：没有三条边互相相交，那么我们枚举一个点对应的点，那么就可以分成两个区间，这两个区间间形成鱼骨状的联系。

那么需要联通，两边至少需要一个跨过中线的东西吧，这总会有一个最顶顶上的吧，那么分成了 $4$ 块，两两需要联通，状态这不就没了吗？但是发现其实只会有 $3$ 块！

因为一定会存在两个分界点（绿色）使得分成独立的三部分。
那么思路就清晰了，我们只需要知道分界点，那么就可以枚举最上面的那条线，以及下面的两个分界点即可。于是得出式子：$f_{l, r, m} = \sum_{x \in [l, m), y \in (m, r]} \sum_{p \in [x, m), q \in (m, y]} f_{l, x, p} f_{q, y, r} f_{p + 1, m, q - 1}$，直接做是 $O(n^7)$ 的但是带一个 $\frac 1 {7!}$ 的常数，能过。
容易利用先枚举绿色断点的方式优化到 $O(n^5)$。

树形 DP

或许如果将子树利用 dfn 转化为一个区间，那么树形 DP 可能也可以转化为区间 DP 的模型。只是在这里区间要么相交，要么相离，所以树形 DP 应该是不难于区间 DP 的（雾

经常与线段树合并/长链剖分/动态 DP 等算法结合出现,令人闻风丧胆,不过感觉这些主要考察数据结构。

--TQX

CF1517F Reunion 大概说的是求白点扩展 $r$ 格覆盖所有点的方案数。那么考虑一个朴素的 DP：$f_{x, i, j}$ 表示 $x$ 子树内最深的黑点和最浅的白点的距离。那么转移是简单的。但是复杂度为 $O(n^5)$，是无法过的，所以考虑如果白点存在且覆盖了所有黑点，那么只需要记录白点是什么，同理，如果黑点没有被完全覆盖，那么白点没有用，就只需要记录黑点是啥就行了，复杂度被优化为 $O(n^3)$。

[AGC034E] Complete Compress 非常神奇，大概就是说基于一个贪心的思路，考虑移动祖孙点是不优的，那么我们只需要移动不同子树内的东西即可。但是也不能把子树内的全部搞定了，因为可能需要分一点出来在祖先的地方平衡其他的子树，这启示我们可以考虑维护一个上下界，表示能达到的状态。考虑到每次移动使得两个点深度 $-1$，启示我们可以利用 $\sum dep$ 作为状态转移，那么设 $f_i, g_i$ 分别表示上下界，那么细细转移即可。上界是简单的，就是不需要移动，而下界不简单，考虑如果有一个子树太深，那么怎么也无法使得下界为 $0/1$，那么将 $mx = \max g_y$ 求出来，如果 $S = \sum \min(f_y + siz_y, mx) < 2 mx$，那么显然就达不到 $0/1$，反之就可以。至于是 $0/1$，考虑到每次操作总深度减少的一定是 $2$，那么这就取决于 $f_i$ 的奇偶性。朴素的每个点都要作为一次根，考虑换根即可做到 $O(n)$。

[Ynoi2006] spxmcq 朴素的很简单，$f_x = w_x + \sum \max (f_y, 0)$，但是需要优化，$O(nq)$ 显然不够。大概说就是考虑将 $x$ 离线升序排序，那么显然的是 $\max (f_y, 0)$ 会在某前段时间为 $0$，在某后段时间为 $f_y$，那么我们只需要知道 $f_y$ 在什么时候变成 $> 0$ 的，那么就可以得出 $x$ 的答案即对其联通的子树求和简单即可。不妨设某个根 $x$，考虑什么时候 $f_x > 0$，假设其所在的联通块大小为 $siz$，原本的权值和为 $wei$，那么只需要当 $w > \frac {-wei}{siz}$ 的时候就可以使得 $f_x > 0$ 了！那么利用 set 存一存，注意新连接一个子树需要更新一下其变化的时间！

CF1326G Spiderweb Trees 咕

数位 DP

一般需要单独处理卡上界的情况，可以将卡上界作为一个状态，也可以直接把上界拆开。通常同时有上下界时会将区间答案转化为前缀和相减。

--TQX

P2657 windy 数 板子题，略。

【UER#4】被粉碎的数字 大概就是简单的在数位 DP 的同时维护一个进位，考虑最后我们需要只是相等，那么再维护一个差值，也就是 $f_{i, x, d}$ 表示考虑到 $i$ 位，前面进过来了 $x$ 位，当前差值为 $d$，卡个上界记忆化即可。

CF1456E XOR-ranges 非常抽象的一个数位区间 DP。注意到有上下界，这是不好处理的，但是可以发现的是只有 $O(k)$ 种脱离上下界的方法，之后就可以任意填了。考虑最后脱离限制的那位，显然的是之后全放 $0$ 或者全放 $1$ 是最优的，那么考虑枚举区间最后脱离的位，如果 $l - 1, r + 1$ 在之后存在一位不同，那么这一位一定需要做出贡献。于是可以搞出一个区间 DP，设 $f_{c, l, r, 0/1, 0/1, 0/1, 0/1}$ 表示区间 $l, r$ 在 $c$ 退位，左右顶着上/下界，下面填的是 $0$ 还是 $1$，之后枚举断点转移即可。

状压 DP

CF1158F Density of subarrays 更加抽象的状压 DP。注意到当 $c$ 很小的时候，我们就可以简单的状压，做到 $O(\frac {n^2 2^c}{c})$。但是当 $c$ 很大的时候这就显得无能为力，可能需要将 $O(2^c)$ 替换为 $O(n)$。接着就可以发现，利用背包，设 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个分 $j$ 段的方案数，接下来就是 $g_{l, r}$ 表示转移的系数，表示必须选 $l$，并且在 $l, r$ 中选了一些使得密度为 $1$ 的方案数，那么直接转移即可。注意加 register 卡卡常。

DP 的优化

通常优化 DP,除了改变状态之外,也可以通过分析转移的性质,进而改变枚举方法或者结合一些其他算法来进行优化。

--TQX

• 单调队列，非常朴实，咕

• slope trick，大概就是说利用堆维护 DP 函数的斜率，从而转移。一般来说是将 $f_{i, x}$ 看成一个关于 $x$ 的函数 $f_{i}(x)$，然后维护其形状转移到下一个函数 $f_{i + 1}(x)$，一般来说转移加凸函数（如绝对值）的就可以考虑凸优化。

Red Black Tree 注意到 $O(n^2)$ DP 是简单的：$f_{x, k} = \min_{i = 0/1} (g_{x, i} + \sum f_{y, k - i})$，其中 $i = 1$ 表示是黑色，$g_{x, i}$ 是修改为颜色 $i$ 的代价。可以归纳得出 $f_x$ 是个凸函数，那么合并时暴力加起来，插入 $1/-1$ 即可。

[APIO2016] 烟火表演 与上一题类似，加一个可并堆即可。

• 斜率优化，大概就是说 $f_x = f_y + c_x + c_y + g_x g_y$ 这种东西，其中 $c_x, c_y, g_x, g_y$ 都是已知，但是 $f_y$ 需要 DP 计算，那么就可以利用斜率优化完成，可以看 # 算法学习笔记(31): 李超线段树

• 决策单调性，与四边形不等式（交叉小于包含）强相关。对于 2D1D 的问题，如果 $w(l, r)$ 满足四边形不等式以及包含单调性（$l \le x \le y \le r \to w(l, r) \ge w(x, y)$）那么整个 DP 满足四边形不等式，就可以优化为 $O(n^2)$ 了。

但是对于 1D1D 的区间单调性，就需要神秘的方法：单调栈与二分。

大概就是说既然决策单调，那么每一个部分管的区间就是一个区间……那么就可以类似单调栈的搞它。

但是如果仅仅只是 $f_i = w(j, i)$ 的东西，那么可以利用分治解决。

Artistic Partition 大概就是说最朴素的 DP 就是 $f_{i, j} = f_{i - 1, k} + w(k + 1, j)$，注意到这里 $w(k + 1, j)$ 满足四边形不等式，那么就可以利用分治优化。注意到直接计算不简单，考虑利用莫队（注意分治时用莫队只有常数上的开销！）只是这里莫队转移要带一个 $O(d(V))$ 的代价，所以单次转移复杂度为 $O(n \log^2 n)$。注意到当 $k$ 很大的时候，总可以构造出一个方案使得答案抵着下界 $n$，不难发现这是 $O(\log n)$ 的，于是只需要转移 $O(\log n)$ 次即可。其实也可以 $O(n \sqrt n)$ 的预处理式子（利用整除分块），做到 $O(1)$ 回答，那么总复杂度为 $O(n \log^2 n + n \sqrt n)$。

最后

DP，可以说是重中之重，在最优化和计数中常常能见到它的身影。

它没啥套路，又全是套路 QwQ，最可恶的一集。