算法学习笔记(8.3): 网络最大流 - 模型篇
本文慢慢整理部分模型。
DAG 最小路径覆盖
经典的题目，经典的思想。
网络流常见的将图上的点拆为入点和出点，那么路径由若干 出 - 入 - 出 - 入 的循环构成。
于是在拆好的图上流一流即可。
[CTSC2008] 祭祀 典中祭
黑白染色
利用黑白染色将整个图变成一个二分图是网络流常见的套路，尤其是在有 棋盘 状物出现的时候。
P3355 骑士共存问题 黑白染色，稍微搞搞就完事。
最小割
最大流等于最小割，这是一个对偶问题。
最小割的构造
从源点开始在残量网络上沿着有剩余流量的边走，这会走出一个连通块。
走到的点集为 \(S\)，剩下的为 \(T\)，那么最小割我们只需要选择 \(S, T\) 相交的那些边即可。
由于搜索的过程沿着有剩余流量的边走，所以一定满流。
最小割的可能与一定
可行边满足：
- 满流
- \(x \to y\) 没有可用流量
必要边满足：
- 满流
- \(S\) 可以通过有剩余流量的边走到 \(x\)，而 \(y\) 可以走到 \(T\)
最小割与二选一问题
P4313 文理分科 典中典。
二选一如果是可行性那么首先联想 2-SAT，如果是收益联想最小割。
考虑最小割使得 \(S, T\) 不连通，那么对于某一个元素 \(x\)，设选 \(A\) 的收益为 \(A_x\)，选 \(B\) 则为 \(B_x\)，那么连出类似于 \(S \stackrel{A_x}{\to} x \stackrel{B_x}{\to} T\) 的图，看是最大化还是最小化选择最小割还是其补集。
P2774 方格取数问题 差不多，不能相邻，也可以转化为 x选x 问题。
P1646 [国家集训队] happiness 令人 happy 的题。
# [Ceoi2008]order 多了一小点东西的最小割。
最小割树
如此构造，初始化当前点集 \(S\) 为所有点：
- 随机两个点 \(x, y\)，求出其最小割 \(cut\)，在树上连边 \(x \stackrel{cut}- y\)。
- 利用最小割将点集划分为小的两个点集，递归上述操作。
如此我们可以构造出一个树，使得两点之间的 \(cut\) 即是树上路径最小值。
考虑如果 \(x \to y\) 的割是 \(cut\)，那么两边点的 \(cut\) 一定不大于 \(x \to y\) 的 \(cut\)，否则 \(x \to y\) 就没法割掉。
然后就随便做了。
P4897 【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree）
上下界流
费用流
最大权闭合子图
关于特殊的性质
抽象篇
# 5048. All Pair Maximum Flow 里面有很多很好的网络流相关的东西。
大致题意是给定一张平面图，求任意两点最大流的和。
注意到一个很重要的等式：
非常经典的一道题就是 # BZOJ1001 狼抓兔子，经典的最小割模型，但是边数和点数都很多，网络流不应该跑过的……但是就是过了。不过只要考虑到这是一个平面图，那么就可以利用最短路 \(O(nm \log nm)\) 做了。
回到本题，平面图上 \(s \to t\) 的最大流 = 最小割 = 对偶图的最短路。
由于本题模型的特殊型，对偶出来的图实际上是一颗树，那么问题实际上是求在这颗树上分成两个点集之间的最短路。
以两两叶子之间的距离作为边权来求最小生成树，那么可以得到最小割树的对偶图（为什么呢？jiangly 是只说容易发现 QwQ）
之后就可以枚举树上的边算贡献了。
至于如何求这颗最小生成树，可以在对偶树上启发式合并贪心做到 \(O(n \log n)\)，类似于 CF888G. Xor-MST 在 trie 树上贪心的过程。
考虑对于一颗子树，显然是子树内的两个叶子相连比之间互相连优，但是由于需要联通，所以需要有相连的部分，那么在两个子树内找到最浅的两个点相连即可，这样就可以得出这个树了，然后枚举树上的边算贡献即可。
但是根据 陈峻宇，有另外一种思考的方式。考虑这个平面图，是最外层的环与内部的一些边构成。
那么考虑最小割，一定存在一种方案，环上的最小边在这个最小割内。并且考虑最大流要经过这个环两次，那么我们可以将最小边断掉，并加在其所在的环的每一条边上，这样一定不影响两两的最小割。引用一张图：
那么不断的如此做下去，最终会得到一棵树，这颗树就是最小割树。
不过这个思路确实抽象。
