算法学习笔记(8.3): 网络最大流 - 模型篇

合集 - 算法学习笔记(52)

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收起

本文慢慢整理部分模型。

DAG 最小路径覆盖

经典的题目，经典的思想。

网络流常见的将图上的点拆为入点和出点，那么路径由若干 出 - 入 - 出 - 入 的循环构成。

于是在拆好的图上流一流即可。

[CTSC2008] 祭祀 典中祭

黑白染色

利用黑白染色将整个图变成一个二分图是网络流常见的套路，尤其是在有 棋盘 状物出现的时候。

P3355 骑士共存问题 黑白染色，稍微搞搞就完事。

P5038 [SCOI2012] 奇怪的游戏

最小割

最大流等于最小割，这是一个对偶问题。

P5458 [BJOI2016] 水晶

最小割的构造

从源点开始在残量网络上沿着有剩余流量的边走，这会走出一个连通块。

走到的点集为 $S$，剩下的为 $T$，那么最小割我们只需要选择 $S, T$ 相交的那些边即可。

由于搜索的过程沿着有剩余流量的边走，所以一定满流。

最小割的可能与一定

P4126 [AHOI2009] 最小割

可行边满足：

• 满流
• $x \to y$ 没有可用流量

必要边满足：

• 满流
• $S$ 可以通过有剩余流量的边走到 $x$，而 $y$ 可以走到 $T$

最小割与二选一问题

P4313 文理分科 典中典。

二选一如果是可行性那么首先联想 2-SAT，如果是收益联想最小割。

考虑最小割使得 $S, T$ 不连通，那么对于某一个元素 $x$，设选 $A$ 的收益为 $A_x$，选 $B$ 则为 $B_x$，那么连出类似于 $S \stackrel{A_x}{\to} x \stackrel{B_x}{\to} T$ 的图，看是最大化还是最小化选择最小割还是其补集。

P2774 方格取数问题 差不多，不能相邻，也可以转化为 x选x 问题。

P1646 [国家集训队] happiness 令人 happy 的题。

# [Ceoi2008]order 多了一小点东西的最小割。

最小割树

如此构造，初始化当前点集 $S$ 为所有点：

• 随机两个点 $x, y$，求出其最小割 $cut$，在树上连边 $x \stackrel{cut}- y$。
• 利用最小割将点集划分为小的两个点集，递归上述操作。

如此我们可以构造出一个树，使得两点之间的 $cut$ 即是树上路径最小值。

考虑如果 $x \to y$ 的割是 $cut$，那么两边点的 $cut$ 一定不大于 $x \to y$ 的 $cut$，否则 $x \to y$ 就没法割掉。

然后就随便做了。

P4897 【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree）

#2042. 「CQOI2016」不同的最小割

上下界流

见：# 算法学习笔记(8.2): 上下界网络流

CF1416F Showing Off

费用流

P3358 最长k可重区间集问题

最大权闭合子图

P2805 [NOI2009] 植物大战僵尸

P2053 [SCOI2007] 修车

P3749 [六省联考 2017] 寿司餐厅

关于特殊的性质

Bulbasaur

Make Same Set

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抽象篇

# 5048. All Pair Maximum Flow 里面有很多很好的网络流相关的东西。

大致题意是给定一张平面图，求任意两点最大流的和。

注意到一个很重要的等式：

平面图最大流 = 平面图最小割 = 对偶图最短路

非常经典的一道题就是 # BZOJ1001 狼抓兔子，经典的最小割模型，但是边数和点数都很多，网络流不应该跑过的……但是就是过了。不过只要考虑到这是一个平面图，那么就可以利用最短路 $O(nm \log nm)$ 做了。

回到本题，平面图上 $s \to t$ 的最大流 = 最小割 = 对偶图的最短路。

由于本题模型的特殊型，对偶出来的图实际上是一颗树，那么问题实际上是求在这颗树上分成两个点集之间的最短路。

以两两叶子之间的距离作为边权来求最小生成树，那么可以得到最小割树的对偶图（为什么呢？jiangly 是只说容易发现 QwQ）

之后就可以枚举树上的边算贡献了。

至于如何求这颗最小生成树，可以在对偶树上启发式合并贪心做到 $O(n \log n)$，类似于 CF888G. Xor-MST 在 trie 树上贪心的过程。

考虑对于一颗子树，显然是子树内的两个叶子相连比之间互相连优，但是由于需要联通，所以需要有相连的部分，那么在两个子树内找到最浅的两个点相连即可，这样就可以得出这个树了，然后枚举树上的边算贡献即可。

但是根据 陈峻宇，有另外一种思考的方式。考虑这个平面图，是最外层的环与内部的一些边构成。

那么考虑最小割，一定存在一种方案，环上的最小边在这个最小割内。并且考虑最大流要经过这个环两次，那么我们可以将最小边断掉，并加在其所在的环的每一条边上，这样一定不影响两两的最小割。引用一张图：

那么不断的如此做下去，最终会得到一棵树，这颗树就是最小割树。

不过这个思路确实抽象。