lxl学长讲课笔记
lxl 学长讲课笔记
常数种可能性的状态
通过预先处理多种状态的信息，从而快速的转换状态。
经典操作：flip。
分析信息的思路
- 利用线段树
利用线段树的时候，如何合并两个分支区间的信息，我们需要有如下注意：
-
答案 - 依赖的信息，继续的依赖，这样就能找到需要维护的东西。这终会产生闭包。
-
合并时，我们只需要考虑跨过分治区间对于答案的贡献，对于不同的情况进行讨论即可。
只是在这里，两个分治区间的信息可以快速地合并罢了。
- 对于不独立信息的处理
独立的信息指区间 \(\max\) 区间和问题。
不独立的如配对相关问题，经典的有前驱后继，或者 \(a_i + a_j = w\) 的问题。
一种做法是离线进行扫描线，但是不能带修，一种是强行进行高位扫描线，也就是莫队，可以带修，但是复杂度可能无法接受。
然而更好的做法我们需要尝试将不独立的信息变的独立：
-
配对问题中合理的利用
pre会有奇效！ -
配对问题可能出现 \(O(n)\) 影响
pre的情况，我们需要合理利用支配的性质来减少不必要的影响。
例如 P6617 查找 Search 中有很好的体现。
- 在什么地方使用数据结构？
一般来说，我们有两种方案：
- 对于信息建立数据结构，在询问时对其进行查询。
- 对于询问建立数据结构，利用信息更新最终答案。
在 CF702F T-Shirts 中有很好的体现，这两种思路都可以。
小技巧
颜色段均摊
对于 ODT 来说，其区间推平的复杂度是 \(O((n + m) \log n)\) 的，十分的优秀，但是对于查询来说，我们需要通过分块或者线段进行辅助，从而达到正确的复杂度。
判断是否可以均摊，我们可以看是否能够构造出一个操作序列使得序列复原，如果可以复原，那么基本是不可以均摊的。
或者我们看是否能找到一个量，不增，或者不减，或者有一个神秘的上界。
更详细的文章：# 算法学习笔记(42): 颜色段均摊
容均摊
对于 \(\sqrt x\) 的操作，可能可以通过 \(\max - \min\) 的势能来搞定。
如果发现极差会变化：\(\max - \min \ne \sqrt{\max} - \sqrt {\min}\)，那么便可以暴力递归下去修改，否则可以整体打一个 \(\sqrt x\) 的标记。对于区间加减，在线段树上至多影响 \(O(\log n)\) 个节点的势能，所以复杂度并不会有问题。
类似的操作有 \(\lfloor \frac x d \rfloor\)，这可以将除法操作变为对于区间的加减操作。
事实上吉司机线段树对于区间取 \(\min / \max\) 的操作也是利用了容均摊，将对于最值的操作分成两套标记：最值与非最值，从而达到合理的复杂度。
自由度与扫描线
自由度指的是询问中变量的数量，例如一位区间的自由度为 \(2\)。
如果将动态问题转化为静态问题，自由度 \(+1\)，也就是增加了 时间 这一维度，这也常常是扫描线的做法。
很多时候，我们可以将询问与信息的影响放在一个二维平面上进行理解，从而得到扫描线的做法。
更详细的文章：
换维扫描线
其处理的修改与询问大概类如：
通过换维扫描线使得：
- 区间加 \(\to\) 单点加
- 单点查 \(\to\) 区间查
通俗一点来说，就是对于修改建立数据结构！
区间子区间问题
形式就是多次询问给定区间 \((l, r)\)，求形如 \(\sum_{i = l}^r \sum_{j = i}^r f(i, j)\) 的式子。
一般来说，我们可以从如下几个步骤入手：
- 考虑只是一个区间怎么做，是否有很好的性质或者充要条件？
- 考虑只有一次询问怎么做，是否可以进行扫描线，或者进行分治？
- 如果可以扫描线，那么这个问题是否可以通过历史版本和搞定？
- 如果可以分治，是否可以利用询问挂在区间上搞定？
- 考虑每个点对于那些区间有贡献，放在二维平面上理解，利用甚至 \(O(n \log^2 n)\) 的树套树？
- 考虑 \(O(n)\) 计算的经典优化方法？
- 考虑这是不是一个 \(\mathrm{fAkE}\) 的式子，可以利用类似 \(O(\frac {n^2}{w})\) 的东西碾过去？
- 下一道题？（雾
基于区间逆序对的思考
区间相关的信息，维度与自由度，莫队
双前缀莫队：\(f(l, r, x, y) \to f(1, r, x, y) - f(1, l - 1, x, y) \to f(1, r, 1, y) - f(1, r, 1, x - 1) - f(1, l - 1, 1, y) + f(1, l - 1, 1, x - 1)\)。将 \(4\) 自由度转化为 \(2\) 自由度的问题，利用莫队。
莫队和可撤销莫队至多差一个 \(O(\log n)\) 的复杂度
