lxl学长讲课笔记
lxl 学长讲课笔记
常数种可能性的状态
通过预先处理多种状态的信息,从而快速的转换状态。
经典操作:flip
。
分析信息的思路
- 利用线段树
利用线段树的时候,如何合并两个分支区间的信息,我们需要有如下注意:
-
答案 - 依赖的信息,继续的依赖,这样就能找到需要维护的东西。这终会产生闭包。
-
合并时,我们只需要考虑跨过分治区间对于答案的贡献,对于不同的情况进行讨论即可。
只是在这里,两个分治区间的信息可以快速地合并罢了。
- 对于不独立信息的处理
独立的信息指区间 \(\max\) 区间和问题。
不独立的如配对相关问题,经典的有前驱后继,或者 \(a_i + a_j = w\) 的问题。
一种做法是离线进行扫描线,但是不能带修,一种是强行进行高位扫描线,也就是莫队,可以带修,但是复杂度可能无法接受。
然而更好的做法我们需要尝试将不独立的信息变的独立:
-
配对问题中合理的利用
pre
会有奇效! -
配对问题可能出现 \(O(n)\) 影响
pre
的情况,我们需要合理利用支配
的性质来减少不必要的影响。
例如 P6617 查找 Search 中有很好的体现。
- 在什么地方使用数据结构?
一般来说,我们有两种方案:
- 对于信息建立数据结构,在询问时对其进行查询。
- 对于询问建立数据结构,利用信息更新最终答案。
在 CF702F T-Shirts 中有很好的体现,这两种思路都可以。
小技巧
颜色段均摊
对于 ODT
来说,其区间推平的复杂度是 \(O((n + m) \log n)\) 的,十分的优秀,但是对于查询来说,我们需要通过分块或者线段进行辅助,从而达到正确的复杂度。
判断是否可以均摊,我们可以看是否能够构造出一个操作序列使得序列复原,如果可以复原,那么基本是不可以均摊的。
或者我们看是否能找到一个量,不增,或者不减,或者有一个神秘的上界。
更详细的文章:# 算法学习笔记(42): 颜色段均摊
容均摊
对于 \(\sqrt x\) 的操作,可能可以通过 \(\max - \min\) 的势能来搞定。
如果发现极差会变化:\(\max - \min \ne \sqrt{\max} - \sqrt {\min}\),那么便可以暴力递归下去修改,否则可以整体打一个 \(\sqrt x\) 的标记。对于区间加减,在线段树上至多影响 \(O(\log n)\) 个节点的势能,所以复杂度并不会有问题。
类似的操作有 \(\lfloor \frac x d \rfloor\),这可以将除法操作变为对于区间的加减操作。
事实上吉司机线段树对于区间取 \(\min / \max\) 的操作也是利用了容均摊,将对于最值的操作分成两套标记:最值与非最值,从而达到合理的复杂度。
自由度与扫描线
自由度指的是询问中变量的数量,例如一位区间的自由度为 \(2\)。
如果将动态问题转化为静态问题,自由度 \(+1\),也就是增加了 时间
这一维度,这也常常是扫描线的做法。
很多时候,我们可以将询问与信息的影响放在一个二维平面上进行理解,从而得到扫描线的做法。
更详细的文章:
换维扫描线
其处理的修改与询问大概类如:
通过换维扫描线使得:
- 区间加 \(\to\) 单点加
- 单点查 \(\to\) 区间查
通俗一点来说,就是对于修改建立数据结构!
区间子区间问题
形式就是多次询问给定区间 \((l, r)\),求形如 \(\sum_{i = l}^r \sum_{j = i}^r f(i, j)\) 的式子。
一般来说,我们可以从如下几个步骤入手:
- 考虑只是一个区间怎么做,是否有很好的性质或者充要条件?
- 考虑只有一次询问怎么做,是否可以进行扫描线,或者进行分治?
- 如果可以扫描线,那么这个问题是否可以通过历史版本和搞定?
- 如果可以分治,是否可以利用询问挂在区间上搞定?
- 考虑每个点对于那些区间有贡献,放在二维平面上理解,利用甚至 \(O(n \log^2 n)\) 的树套树?
- 考虑 \(O(n)\) 计算的经典优化方法?
- 考虑这是不是一个 \(\mathrm{fAkE}\) 的式子,可以利用类似 \(O(\frac {n^2}{w})\) 的东西碾过去?
- 下一道题?(雾
基于区间逆序对的思考
区间相关的信息,维度与自由度,莫队
双前缀莫队:\(f(l, r, x, y) \to f(1, r, x, y) - f(1, l - 1, x, y) \to f(1, r, 1, y) - f(1, r, 1, x - 1) - f(1, l - 1, 1, y) + f(1, l - 1, 1, x - 1)\)。将 \(4\) 自由度转化为 \(2\) 自由度的问题,利用莫队。
莫队和可撤销莫队至多差一个 \(O(\log n)\) 的复杂度