算法学习笔记(42): 颜色段均摊

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48.算法学习笔记(42): 颜色段均摊2023-11-23

49.算法学习笔记(43): 可持久化线段树 - 区间加！2023-11-25 50.算法学习笔记(44): 二维问题小计2024-01-31 51.算法学习笔记(45): 快速沃尔什变换 FWT2024-02-19 52.算法学习笔记(46): 离散余弦变换（DCT）2024-03-16

颜色段均摊

反正 ODT！

对于 ODT 来说，其区间推平的复杂度是 $O((n + m) \log n)$ 的，十分的优秀，但是对于查询来说，我们需要通过分块或者线段进行辅助，从而达到正确的复杂度。

有一种特殊情况例外：如果推平和查询同时发生，意味着推平时对于每一段查询的复杂度是没有问题的！

判断是否可以均摊，我们可以看是否能够构造出一个操作序列使得序列复原，如果可以复原，那么基本是不可以均摊的。

或者我们看是否能找到一个量，不增，或者不减，或者有一个神秘的上界，再抽象一点说，存在某一个势能在我们可接受复杂度内。

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区间赋值
区间权值求和

对于区间赋值来说，ODT 所谓的颜色段均摊可以很好做到 $O((n + m) \log n)$ 的复杂度。

但是我们唯一担心的是查询权值的复杂度，这是很难接受的！

所以我们需要通过线段树进行辅助：考虑到区间赋值对权值带来的影响是区间加，所以利用线段树维护即可。

乍一眼看上去是 $O(n \log n + m \log^2 n)$ 的复杂度（加上了修改时线段树的复杂度），但是考虑到实际上，每新增或者减少一个颜色段，只会在线段树上区间加一次，也就是说 $O(n + m)$ 个颜色段带来的是 $O((n + m) \log n)$ 的线段树操作，所以仍然是一个 $\log n$ 的。

提交记录：https://codeforces.com/problemset/submission/444/233908238

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这下操作可能困难了。

这道题其实就是所谓的特殊情况：

如果推平和查询同时发生，意味着推平时对于每一段查询的复杂度是没有问题的！

也就是说，我们在区间推平的时候顺便维护一下这一段的答案即可。

现在的问题转化为经过 $t$ 时刻后， $[l, r]$ 的权值和。

如果没有对于 $m_i$ 取 $\min$ 是简单的，我们需要想办法绕开它。

考虑权值关于时间的函数实际上是分段的：

f_{i} (t) = {\begin{cases} 0, & r_{i} = 0 \\ r_{i} \times t, & t \leq ⌊ \frac{m_{i}}{r_{i}} ⌋ \\ m_{i}, & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_i(t) = \begin{cases} 0, & r_i = 0 \\ r_i \times t, & t \le \lfloor \frac {m_i}{r_i} \rfloor \\ m_i, & otherwise \end{cases}$

考虑到 $\frac {m_i} {r_i} \le 10^5$ ，所以可以据此建立可持久化线段树，查询区间即可。

注意由于我们维护的是一次函数，所以需要 $K, B$ 两棵线段树。

提交记录：https://codeforces.com/contest/453/submission/233920307

P5066 [Ynoi2014] 人人本着正义之名

很套路的是将连续的 $01$ 段缩成一段，但是呢？

考虑到每次操作，可能造成如下的影响：

一些 $0$ 段长度 $\pm 1$
一些 $1$ 段长度 $\pm 1$

考虑到区间长度在变化，我们可以通过平衡树维护，例如 wblt。

但是我们会发现存在一个段长度变为 $0$ 的情况，此时这个区间应当被删除，不再使用。

所以我们需要快速的找到是否需要删除某个区间，这容易利用在平衡树上维护两者的最短长度实现。如果发现了变为 $0$ 的段，在线段树上二分下去删除它即可。

考虑这样的段一共有 $O(n)$ 段，每次删除代价是 $O(\log n)$ 的，总复杂度是 $O(n \log n)$ ，可以接受。

每次操作也是 $O(\log n)$ 的，总复杂度便是 $O(n \log n + m \log n)$ ，十分优秀。

posted @ 2023-11-23 22:01 jeefy 阅读(301) 评论(0) 编辑收藏举报

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