算法学习笔记(41): 朴素多项式算法

合集 - 算法学习笔记(52)

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朴素多项式算法 - $O(n^2)$ 合集

我们并不需要 NTT，就算需要，也只是用来优化乘法。

多项式求逆

对于多项式 $\sum a_i x^i$ 我们需要构造出一个多项式 $\sum b_i x^i$ 使得：

$$\begin{cases} a_0 b_0 = 1 \\ \sum_{i = 0}^k a_i b_{k - i} = 0 & k \ge 1 \end{cases}$$

首先 $b_0$ 是好知道的，剩下的 $\sum_{i = 0}^k a_i b_{k - i} = 0$ 将 $b_k$ 那一项单独拆出来：

$$a_0 b_k = - \sum_{i = 1}^k a_i b_{k - i}$$

如果我们已知 $b_{[0, k)}$，那么就可以通过上式推出 $b_k$。

同时，这可以利用半在线卷积优化到 $O(n \log^2 n)$。

多项式 $\ln$

考虑：

$$B(x) = \ln A(x) \iff B'(x) = \frac {A'(x)}{A(x)}$$

那么我们只需要多项式求导和求逆和积分即可。

或者有另外一种简单的公式：

$$B'(x) A(x) = A'(x) \iff \left(\sum_{i = 0}^{n - 1} (i + 1)b_{i + 1} x^i \right) \left(\sum_{i = 0}^n a_i x^i\right) = \sum_{i = 0}^{n - 1} (i + 1) a_{i + 1} x^i$$

将 $[x^n]$ 提出来：

$$(k + 1)a_{k+ 1} = \sum_{i = 0}^k (i + 1)b_{i + 1} a_{k - i} \iff k a_k = \sum_{i = 1}^k i b_i a_{k + 1 - i}$$

将 $b_k$ 单独提出来：

$$k a_1 b_k = k a_k - \sum_{i = 1}^{k - 1} i b_i a_{k + 1 - i}$$

如果我们已知 $b_{[1, k)}$，那么就可以通过上式推出 $b_k$。

同样可以利用半在线卷积优化到 $O(n \log^2 n)$。

多项式 $\exp$

类似的考虑：

$$B(x) = e^{A(x)} \iff \ln B(x) = A(x) \iff \frac {B'(x)}{B(x)} = A'(x) \iff B'(x) = A'(x) B(x)$$

将系数提取出来：

$$(k + 1) b_{k + 1} = \sum_{i = 0}^k (i + 1) a_{i + 1} b_{k - i}$$

将下标平移一下：

$$k b_k = \sum_{i = 1}^k i a_i b_{k - i}$$

如果我们已知 $b_{[0, k)}$，那么就可以通过上式推出 $b_k$。

同样可以利用半在线卷积优化到 $O(n \log^2 n)$（Ctrl-C + Ctrl-V

半在线卷积

看了怎么久，来学学半在线卷积吧！

半在线卷积其实就是……多项乘法上的 cdq 分治！

没啥好说的，呱。

作者有话说

看看多项式板子有多长，比线粒体还长！用 $O(n^2)$ 代码短，不容易错，还不受模数的限制！

反正省选什么的也不会考 NTT，但是会考多项式，所以学一学总是好的。