CSP-S2019 题解

做了这套题，如果是让现在的我当时去考的话应该一共可以有 450 分，格雷码，括号树，树的重心都可以做，树上的数可以有 10 分，Emiya 至少可以有 76 分，划分也可以有 64 分。看 OIerDB 上可以有 166 名的好成绩。

我的代码合集：洛谷 / 云剪贴板

[CSP-S2019] 格雷码

首先是格雷码有一个很好的生成方式，最低位 $0110$ 的循环，次高位 $00111100$ 的循环……

也就是说第 $i$ 位由 $2^{i}$ 个 $0$ ， $2^{i + 1}$ 个 $1$ ，再来 $2^i$ 个 $0$ 来循环，并且这与总共有多少位是没有关系的！

那么我们就可以利用这个方法生成给定的第 $k$ 个数，输出前 $n$ 位即可。

[CSP-S2019] 括号树

首先我们考虑只有一条链怎么做。

将 () 看作 $1 / -1$ ，做出前缀和序列。

那么对于每一个区间 $[l, r]$ ，为合法括号序列当且仅当 $pre_{l - 1} = pre_r$ 并且 $\min_{l \le i \le r} = pre_r$ 。

于是可以利用单调栈，对于每一个右端点找到满足第二个条件的区间（也就是在前面第一个 $\lt pre_r$ 后的左端点都满足第二个条件），顺便记录一下与栈顶相等的数的个数即可。

如果放在树上，我们只需要一个支持撤销的栈即可。

[CSP-S2019] 树上的数

抽象题，我只会 $n!$ 和菊花图的做法 QwQ

[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

首先有一个很 naive 的 $O(m n^3)$ DP，稍稍卡常应该是完全可以过的。

具体来说，我们发现之多只有一个不满足 $\le \lfloor \frac k2 \rfloor$ 的食材，那么我们枚举这个食材是什么即可。

接下来，我们设 $f_{i, j, k}$ 表示对于这个食材，考虑了前 $i$ 种烹饪方法，选择了 $j$ 种这个食材，一共选择了 $k$ 种。那么枚举这一次的选择就可以转移了。

令 $S_i$ 表示第 $i$ 种烹饪方式有多少种选择，即 $S_i = \sum a_{i, k}$ ，如果当前食材为 $z$ ，那么转移为：

f_{i, j, k} = f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1, j - 1, k - 1} \times a_{i, z} + f_{i - 1, j, k - 1} \times (S_{i} - a_{i, z})

$f_{i, j, k} = f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1, j - 1, k - 1} \times a_{i, z} + f_{i - 1, j, k - 1} \times (S_i - a_{i, z})$

最后我们只需要 $\sum_{j \gt \lfloor \frac k2 \rfloor} f_{n, j, k}$ 即可。

然而这极度不优秀，将 $j \le \lfloor \frac k2 \rfloor$ 转化为 $j \gt k - j$ ，那么我们只需要 $\sum_{j \gt k - j} f_{n, j, k}$ 即可，也就是我们只关注 $j$ 与 $(k - j)$ 的差值，那么我们按照这个作为 DP 对象即可。