算法学习笔记(37): 点分治，边分治小记

合集 - 算法学习笔记(52)

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收起

分治，分而治之，是通过减少数据规模，然后合并的结果，从而减少复杂度的思想。

其实感觉本文应该放在分治里面讲……算法学习笔记(31): 分治

在经典的序列分治中，我们是对于每一个点，求出经过这个点的那些区间的贡献。

在点分治中，同样我们是对于每一个点，求出经过这个点的那些路径的贡献。

放在边分治中，则是求出经过某条边的那些路径的贡献。

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点分治

在一般序列分治中，我们是找中点，在点分治中，我们如何减少问题规模？

观察各心性质，发现重心的性质优良，满足其所有子树的大小不超过 $\lfloor \frac n 2 \rfloor$。

于是如果我们按照重心划分，那么每一次，问题规模至少减半，那么剩下的问题就是如何合并所有子树的贡献？

可以一个一个子树的贡献，然后加入，就像扫描线一样。

但是注意到子树间不可以相互贡献，也就意味着必须先求出子树对前面加入子树的贡献，在将这颗子树的贡献加上。

在处理完经过这个点的路径之后，我们就可以大胆的删除这个点了！（标记被删除，而不是真的删掉……

然后我们就得到了规模减少了很多的一堆小问题了，递归处理即可。

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# [IOI2011] Race

这是板子题，拿来练手。

这里对于信息的加入和处理，考虑到 $k \le 10^6$，可以开一个桶记录。

注意不要每次将这个桶清空，而是记录修改的位置，一一还原，因为两者的数量级差距太大……

接下来是一些写点分治的注意事项：

• 在求重心的时候，有两种做法，一种是基于错误，但是正确的做法，可以参考 ## 一种基于错误的寻找重心方法的点分治的复杂度分析 一种是最常规的做法，这里说后者。
  • 注意求重心时我们需要求 $\max(siz_y, n - siz_x)$，此时 $n$ 需要更新为当前连通块的大小，这在分治进入这个分支的时候进行更新。
• 注意进入分治的根是找到的重心，而不是当前重心的某个儿子（虽然这样也可以骗过很多分……

代码就放这里了：云剪切板 - 洛谷

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边分治

边分治看来才是最像序列分治的东西。

边分治找一条将两边均分的边是最优的，这和序列分治类似，但是很可能存在一个菊花图，使得不存在两边均分的情况，所以在边分治之前，我们需要对于这张图进行变化：三度化。

也就是说，如果我们使得每一个点的度数 $\le 3$，那么我们就可以尽可能的均分这颗树了。

那么具体的操作大概就是把树变成如图：

也就是新建一点点点和边，使之三度化即可。这样空间都还是 $O(n + m)$ 的，但是常数略大，点数是原本的两倍，边数则接近 $4$ 倍，所以不是那么的优秀。

值得注意的是，新建的这点点点和边必须不影响答案！

边分治的优势在于我们每次只会产生两个子树，我们只需要对于一棵子树进行处理，在另一颗子树中进行贡献查询即可，也就是说我们只需要构建一次某一边的静态结构。

但是根据 CMD 的说法：

事实上，点分治如每次合并（直接重建）两个最小的静态结构，并且处理之间的询问，复杂度仍然是正确的。所以说边分治在比较经典的题目中没有多大优势。

具体做法就是类似于哈夫曼树的启发式合并所有子树，这样复杂度就是正确的了。

接下来是一些注意事项：

• 由于此时我们需要删边，所以用 vector 存图就那么的毒瘤了，所以使用链式前向星存图，从 $2$ 开始，双向边是相邻的，且异或为 $1$，所以可以快速的找反边来删了。
  • 不嫌麻烦可以用 set 删
• 还是进入分治的子树大小要特别注意，不然样例过了，却发现 TLE 的很惨……

参考代码在剪切板末尾：云剪切板 - 洛谷

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点分树，边分树

两者其实本质雷同，这里以我个人比较喜欢的边分树为例。

如图，一个三度化之后的树，变成点分大概形如：

左边的是边分树，是不是非常像 kruskal 重构树？但是这棵树保证了树高是 $O(\log n)$ 的，结点数是 $2n - 1$ 的。

右边的是点分树，在这个树上看起来好像更优美……

对于上方的节点，所有子树对应的其实就是分治递归进入的若干块。

我们考虑一个点在其所有祖先，也就是每一个分治层都会和其他所有子树内的点贡献，那么我们需要维护的信息也就是每一个节点的子树的信息。

对于可减的信息，那么维护每个子树和子树的和即可，但是对于不可减的贡献，暂不清楚点分治该怎么做，倒是边分治的话由于边分树一定是个二叉树，所以每次一层只有 $1$ 个子树的贡献，并不需要减。

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参考文章：

• 树分治小记 - command_block

• 边分治 - JZP的博客