算法学习笔记(31): 李超线段树

37.算法学习笔记(31): 李超线段树2023-10-20

李超线段树是一种按照值域维护一次函数最值的数据结构，其核心在于一次函数和值域的双单调性。

如果预先对于值域离散也可以维护其最值。

也就是说只要满足时一次函数，以及下标的单调性都可以利用李超线段树维护。

李超线段树就是利用线段树来维护一次函数的最值，每一个结点对应了一个区间 $[l, r]$ 。

我们定义一个区间 $[l, r]$ 的最优函数 $kx + b$ 为在 $\lfloor \frac{l + r}2 \rfloor$ 处为最值的函数。

最优函数满足在中点是最值，但是不一定满足在端点是最值，所以需要分为左右两个区间判断。

然而对于一次函数来说，如果满足时最优函数，那么对于另一条函数，只能有左半或者右半是优于它的：

于是更新有三种情况：

注意到如果满足的最优函数，那么不存在一条两边都大于它的函数，此时至多进入一个区间，根据线段树有 $O(\log n)$ 层，所以更新的复杂度是 $O(\log n)$ 的。

单点查询的时候需要注意，需要利用经过的每一个节点的最优函数来更新答案，这样一定是不劣的。

那么如果这个一次函数限定了值域，那么意味着这个函数只能更新部分的区间。

那么考虑到线段树本身可以将一个区间拆分为 $O(\log n)$ 个区间，然后我们对于这些区间用此函数来更新即可。可以做到 $O(\log^2 n)$ 维护区间函数最值。

板子题李超线段树我就不细说了。

这里说说如何利用李超线段树优化 DP。

能用斜率优化的 DP 都可以使用李超树维护，并且一般都可以过（ $10^7$ 也不是不可以，只是需要大力卡常而已）

式子形如： $f_i = \max f_j + c_i \times c_j$ 。

此时我们将 $c_j$ 看作 $k$ , $f_j$ 看作 $b$ ，那么问题转化为有一堆 $y = kx + b$ ，现在给定 $x = c_i$ ，求最值。

如果 $c_i$ 的值域很小，可以支持 $O(V \log V)$ 的时间和 $O(V)$ 的空间，那么十分简单，直接利用李超线段树维护即可。

但是如果 $c_i$ 不连续，但是观察到一共有 $O(n)$ 个 $c_i$ ，于是考虑离散化，排序后将它们映射到 $[1, n]$ 的整数上，考虑下标是单调的，那么李超线段树所依赖的最优函数的性质任然成立，所以可以 $O(n \log n)$ 的维护这颗李超线段树了。

但是接下来如果我们限制了转移的区间： $f_i = \max_{i - k \le j \lt i} f_j + c_i \times c_j$ 。

首先，如果 $c_i$ 是单调的，那么是简单的，这意味着离散化后 $i \to c_i$ 意味着下标和值域是匹配的，所以可以利用区间维护最优函数来做，这样复杂度是 $O(n \log^2 n)$ 的。

如果 $c_i$ 是不单调的，那么这题就太阴间了 QwQ，但是任然可以利用李超线段树解决。

利用线段树分治，维护支持撤销的一棵李超线段树，然后在 DP 的过程中边求答案边更新分治线段树即可，这样复杂度也是 $O(n \log^2 n)$ 的。

posted @ 2023-10-20 16:32 jeefy 阅读(85) 评论(0) 编辑收藏举报

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