恋爱入门教学题解

合集 - 题解(22)

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恋爱入门教学

题目背景

HF 学会了说唱，夺得了中国第一男高的称号，迷倒了万千迷妹收获了大笔的金钱。

他广撒网广交友，交到了许多卡哇伊的 npy，可是麻烦随之而来。

题目描述

每一个 npy 对 HF 都有一个好感度 $Favorbility_i$（下文简记为 $F_i$）。而 HF 秉持着公平的原则，对于每一个 npy 的好感度 $f$ 是一样的。于是，好感的不对等会造成一定的麻烦。

每一个 npy 都有一个麻烦率 $Troublesome_i$（下文简记为 $T_i$），如果是纠缠，那么 $T_i$ 为正，如果是冷漠，则 $T_i$ 为负。或许可能是真爱，有的 npy 的 $T_i$ 为 $0$。

但是与每一个 npy 相处会有一个基础的麻烦度 $B_i$，由于也可能是帮助，所以 $B_i$ 可能小于零。

HF 为了不让自己爆炸，所以想要最小化 HF 的麻烦度。

由于朋友是一个一个交的，所以他每交到一个 npy 就需要调整自己的 $f$ 以减少麻烦。

形式化来说，就是对于 $k = 1, 2, \cdots n$，最小化：

$$\sum_{i = 1}^k |T_i(F_i - f) + B_i|$$

输入格式

第一行一个数 $n$ 表示 npy 的总个数。

接下来 $n$ 行，每行三个整数 $T_i, F_i, B_i$。

含义见题目描述

输出格式

一行 $n$ 个数，误差在 $10^{-4}$ 以内则视为正确。

数据规模

对于 $100\%$ 的数据 $n \le 5e5, |T_i|, |F_i|, |B_i| \le 1e4$。

特殊性质：

• A：保证 $T_i = 1$

测试点编号	$n \le$	特殊性质
$1 \sim 3$	$10$	无
$4$	$10$	A
$5 \sim 9$	$3000$	无
$10$	$3000$	A
$11 \sim 14$	$100000$	无
$15$	$100000$	A
$16 \sim 20$	$500000$	无

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题解

T4 love

整理式子：

$$\sum_{i = 1}^k |a_i x + b_i|$$

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Sol 1

首先考虑绝对值是个凸函数的性质：凸函数 + 凸函数 = 凸函数。可以发现，所求函数满足两段单调。

所以我们可以三分 $f$ 然后 $O(n)$ 算出最终答案。

复杂度 $O(n^2 \log v)$ 期望得分 $20$。

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三分瓶颈在于求出最终答案，考虑如何优化。

我们把绝对值拆开分段考虑。

当 $x < - b_i / a_i$ 时，与 $x \ge - b_i / a_i$ 时贡献不一样，考虑将函数按照 $- b_i / a_i$ 排序，将函数相加（对 $a_i$ 和 $b_i$ 做前后缀和，利用数据结构维护）

所以可以二分断点，以此求出答案。

注意 $a_i = 0$ 的情况。

复杂度 $O(n \log n \log v)$，期望得分 $75$。

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sol 2

先考虑特殊性质。

不难发现，可以转化为最小化数轴上一个点到其他点的最小距离。

这应该给了很多提示。所以这一部分可以通过 heap 水过。

实测，其实利用堆可以过大部分数据，只是这复杂度……$O(玄学)$

期望得分：$玄学$

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利用绝对值，强制使得 $a_i \ge 0$，同时也改变 $b_i$ 的符号，可以得到类下的式子：

$$\sum_{i = 1}^k a_i |x - \frac {b_i} {a_i}|$$

于是相当于在数轴上 $\frac {b_i} {a_i}$ 的位置放 $a_i$ 个点。求 $x$ 到这些点的最小距离。

而如果要最小化距离，那么显然是在中位数的位置。

所以考虑使用平衡树维护中位数，以及 $b_i$ 前缀和，求解距离即可。

同时，也可以考虑离散化，在线段树或者树状数组上二分可以做到 $O(n \log n)$。

期望得分 $100$