CF1827

CF1827

A. Counting Orders

简单计数。

两个都排序，双指针维护一下 a[i] 在 b[p] 的位置（a[i] <= b[p]）。

那么方案数 $\times (p - i)$。

提交：https://codeforces.com/contest/1827/submission/211387552

C. Palindrome Partition

回文好题。

考虑利用 Manacher 求出每一个偶数的回文串。

参考：算法学习笔记(13): Manacher算法 - jeefy - 博客园

观察可以发现：每一个合法的串都可以被划分为多个最小的合法串，并且划分方法是唯一的。

所以考虑如下：

我们需要维护出每一个点作为右端点，最靠近的左端点。

这等价于求出满足 $i + p[i] \ge x$，求 $\max i$。

• 做法1：利用上面的限制，可以通过 ST 表求解。

  • 参考：算法学习笔记(3): 倍增与ST算法 - jeefy - 博客园，以及题解：https://codeforces.com/blog/entry/116109

• 做法2：由于需要中心最大，所以逆序处理，利用每一个中心更新没有更新过的点。

  由于每一个点只需要更新一次，考虑使用链表或者并查集维护。我用的是并查集。

然后，设上面对于端点 $i$ 求出来的结果为 $g_i$。

得出最终的递推式：

$$f_i = \begin{cases} 0 &,g_i = 0 \\ f_{i - g_i} + 1 &, g_i \ne 0 \end{cases}$$

其中 $f_i$ 表示以 $i$ 结尾的合法的串的个数。

最终的答案为 $\sum f_i$。

提交：Submission #211396680 - Codeforces

D. Two Centroids

性质好题。

重心有如下性质：

• 最大子树大小 $\le \lfloor \frac n2 \rfloor$。

• 新增一个叶子节点，重心最多变化一条边。

• 重心至多有两个。

那么我们考虑每次加入一个点对于原来重心 $c$ 的影响，并设当前最小的子树大小为 $mx$。

• 如果加入的叶子节点在 $c$ 的子树 $t$ 内。更新 $t$ 的大小，并更新 $mx$。如果此时 $mx \ge \lfloor \frac n2 \rfloor + 1$，那么重心向 $t$ 移动。并且此时 $mx$ 更新为 $\lfloor \frac n2 \rfloor$（不考虑，把图画出来就明白了。

• 由于我们不可能动态维护以每一个重心为根，所以还要考虑其祖先的情况（同理）。

然后就是如何找 $t$ 的问题。有两种解决方案：

• 无论如何首先可以通过 dfn 序判断是否在其子树内。

  • 方案1：利用倍增的方法跳祖先。空间复杂度 $O(n \log n)$，单次 $O(\log n)$。

  • 方案2：利用 dfn 区间，对于每一个节点保存其子节点的 dfn，每次二分找到叶子的 dfn 所在的区间即可。（我用的这种方法）空间 $O(n)$，单词 $O(\log n)$。

• 实测第二种要快一点点（也快不了多少，主要是常数够好）

提交：Submission #211401150 - Codeforces

E. Bus Routes

差点没用 dlang 卡过去

思路1

考虑更严的限制（等价）：叶子节点间两两可以在两次内到达。

于是考虑对于每一个叶节点，求出其能到达的最高的祖先 $high(x)$。

也就是求一个 LCA 即可。

那么满足条件的必要条件是每一对 $high(x), high(y)$ 满足祖先/子节点关系。

如果不是，那么至少需要三条路径。

如果满足上述条件，那么所有的 $high$ 满足在一条链上。

那么可以通过 dfn 序判断。

这并不充分。

考虑找到最低那个 $high(x)$，并以 $high(x)$ 作为根。

此时重新求一次 $high$，如果所有的 $high$ 都为 $high(x)$，那么就是 $ok$ 的，否则，如果有 $high(y) \ne high(x)$，那么 $x, y$ 不可达。

不要写倍增求 LCA，利用 ST表 $O(n \log n) \sim O(1)$ 或者 树链剖分 $O(n) \sim O(\log n)$ ，甚至是离线 $O(n)$ 求。倍增太慢了，dlang 卡不过去。

思路2

参考 Alex_Wei 的博客：https://www.luogu.com.cn/blog/_post/575397。

利用 DSU on tree。

思路3

维护虚树并树上差分。非常的高效。

参考：CF1827E Bus Routes - Kubic 的博客 - 洛谷博客