算法学习笔记(25): 矩阵树定理
矩阵树定理
本文不作为教学向文章。
比较好的文章参考：
对于无向图
无向图中应该是矩阵树定理的常用场景。
无向图的矩阵树定理讲的是：
求行列式的矩阵为 \(D - A\)，也就是度数矩阵 \(D\) 减去邻接矩阵 \(A\)。
其中 \(A_{i, j} = \sum w(i, j)\)，也就是 \(i \to j\) 的边的边权之和（允许重边）。
其中 \(D_{i, i} = \sum_j w(i, j)\)，也就是所有通向 \(i\) 的边的边权之和。
这好像在无向图中也适用。
如果我们需要计数的话，就把边权设为 \(1\) 即可。
在 [SDOI2014]重建 - 洛谷 中，求的是 \(\sum_T \prod_{e \in T} p_e \prod_{e \not\in T} (1 - p_e)\)。
我们可以轻易的把 \(\prod_{e \not\in T} (1 - p_e)\) 它变为 \(\cfrac {\prod_e (1 - p_e)}{\prod_{e \in T} (1 - p_e)}\)。
剩下的就简单了。于是余下的是建矩阵的问题。
根据上面所说，也很简单了。
对于有向图
\(A, D\) 的定义与上面类似。
只是注意两个点：
-
内向树和外向树
-
根
在求 \(\det\) 的时候需要删掉一行，删掉的那一行作为的是根！
内向树和外向树？内向即是指向根的方向，外向即是根向外指。
此时 \(D\) 需要有变化：\(D_{i, i} = \sum_j w(i, j)\) 就是根向外指，是外向树。如果为 \(\sum_j w(j, i)\) 则是内向树。
无向图中随意，因为无论外向还是内向结果都是一样的。
拓展 - 求和
生成树求和，具体来说就是求 \(\sum_{T} \sum_{e \in T} w(e)\)。
稍微扩展一下，求 \(\sum_{T} (\sum_{e \in T} w(e))^k\)。
首先观察到 \((\sum w_i)^k = \sum_{\sum a_i = k} \frac {k!}{\prod a_i !} \prod w_i^{a_i}\)，整理一下得到：\(= k! \sum_{\sum a_i = k} \prod \frac {w_i^{a_i}}{a_i !}\)。后面这部分很像 EGF，所以对于每一个边建立其边权的 EGF，得到最终的答案为 \(k! [x^k] \sum_{T} \prod_{e \in T} F^{(e)}(e)\)。
后面这个部分很像矩阵树定理，于是套用高斯消元的板子，只是其元素变成了 \(F^{(e)}\) 而已。
如果存在一个多项式没有逆，这是不可以的，根据矩阵树定理，如果一个图联通，那么其行列式不为 \(0\)，也就是这个矩阵存在逆。而对于没有逆的多项式，其满足 \([x^0]F(x) = 0\)，但是对于常系数来说，其与正常的矩阵树是一样的，所以一定存在一个 \([x^0]F(x) \ne 0\) 的多项式，其一定有逆。
但是如果图不连通……其结果为 \(0\) 即可。
于是对于求和的问题，就可以 \(O(2^2 n^3)\) 的求解了，对于一般的问题可以 \(O(n^3 k^2)\) 的完成，其中 \(O(k^2)\) 是给多项式乘法和求逆的。。
