算法学习笔记(25): 矩阵树定理

合集 - 算法学习笔记(52)

1.算法学习笔记(∞)：杂项2023-08-172.算法学习笔记(1): 欧几里得算法及其扩展2023-01-123.算法学习笔记(2): 欧拉定理与逆元2023-01-134.算法学习笔记(3): 倍增2023-01-125.算法学习笔记(3.1): ST算法2023-10-136.算法学习笔记(4): 并查集及其优化2023-01-127.算法学习笔记(5): 最近公共祖先(LCA)2023-01-128.算法学习笔记(6): 树链剖分2023-01-129.算法学习笔记(7): 二分图2023-01-1310.算法学习笔记(8): 网络流2023-01-1311.算法学习笔记(8.0): 网络流前置知识2023-01-1312.算法学习笔记(8.1): 网络最大流算法 EK, Dinic, ISAP2023-01-1413.算法学习笔记(8.2): 上下界网络流2023-01-1414.算法学习笔记(8.3): 网络最大流 - 模型篇2023-12-1915.算法学习笔记(9): 中国剩余定理(CRT)以及其扩展(EXCRT)2023-01-1516.算法学习笔记(10): BSGS算法及其扩展算法2023-01-1617.算法学习笔记(11): 原根2023-01-1618.算法学习笔记(12): 线性基2023-02-0319.算法学习笔记(13): Manacher算法2023-02-0720.算法学习笔记(14): 字符串哈希2023-02-0621.算法学习笔记(15): Trie（字典树）2023-02-0822.算法学习笔记(16): 组合数学基础2023-02-0823.算法学习笔记(17): 快速傅里叶变换（FFT）2023-02-1024.算法学习笔记(18): 平衡树（一）2023-03-1025.算法学习笔记(19): 树上启发式合并（DSU on tree）2023-03-1826.算法学习笔记(20): AC自动机2023-03-2627.算法学习笔记(21): 平衡树（二）2023-05-1328.算法学习笔记(22): 逆序对与原序列2023-05-3129.算法学习笔记(23): 马尔可夫链中的期望问题2023-06-0130.算法学习笔记(24): 狄利克雷卷积和莫比乌斯反演2023-07-27

31.算法学习笔记(25): 矩阵树定理2023-06-16

32.算法学习笔记(26): 计算几何2023-07-2233.算法学习笔记(27): 后缀结构2023-07-2634.算法学习笔记(28): 筛法2023-07-2635.算法学习笔记(29)：分块2023-09-2036.算法学习笔记(30)：Kruskal 重构树2023-10-1337.算法学习笔记(31): 李超线段树2023-10-2038.算法学习笔记(32): 分治2023-10-2739.算法学习笔记(33): 格路径与计数2023-10-2940.算法学习笔记(34): 矩阵乘法与线段树标记2023-11-0341.算法学习笔记(35): CMD Tree2023-11-0342.算法学习笔记(36): 期望中的停时2023-11-0343.算法学习笔记(37): 点分治，边分治小记2023-11-0744.算法学习笔记(38): 矩阵2023-11-1345.算法学习笔记(39): 2-SAT2023-11-1346.算法学习笔记(40): 具体数学2023-11-2247.算法学习笔记(41): 朴素多项式算法2023-11-2248.算法学习笔记(42): 颜色段均摊2023-11-2349.算法学习笔记(43): 可持久化线段树 - 区间加！2023-11-2550.算法学习笔记(44): 二维问题小计2024-01-3151.算法学习笔记(45): 快速沃尔什变换 FWT2024-02-1952.算法学习笔记(46): 离散余弦变换（DCT）2024-03-16

收起

矩阵树定理

本文不作为教学向文章。

比较好的文章参考：

• 矩阵树-定理以及凯莱公式

• 【学习笔记】矩阵树定理（Matrix-Tree）_繁凡さん的博客-CSDN博客

• 矩阵树定理入土 - ixRic 的博客 - 洛谷博客

对于无向图

无向图中应该是矩阵树定理的常用场景。

无向图的矩阵树定理讲的是：

$$\sum_{T} \prod_{e \in T} w_e$$

求行列式的矩阵为 $D - A$，也就是度数矩阵 $D$ 减去邻接矩阵 $A$。

其中 $A_{i, j} = \sum w(i, j)$，也就是 $i \to j$ 的边的边权之和（允许重边）。

其中 $D_{i, i} = \sum_j w(i, j)$，也就是所有通向 $i$ 的边的边权之和。

这好像在无向图中也适用。

如果我们需要计数的话，就把边权设为 $1$ 即可。

---

在 [SDOI2014]重建 - 洛谷 中，求的是 $\sum_T \prod_{e \in T} p_e \prod_{e \not\in T} (1 - p_e)$。

我们可以轻易的把 $\prod_{e \not\in T} (1 - p_e)$ 它变为 $\cfrac {\prod_e (1 - p_e)}{\prod_{e \in T} (1 - p_e)}$。

剩下的就简单了。于是余下的是建矩阵的问题。

根据上面所说，也很简单了。

---

对于有向图

$A, D$ 的定义与上面类似。

只是注意两个点：

• 内向树和外向树

• 根

在求 $\det$ 的时候需要删掉一行，删掉的那一行作为的是根！

内向树和外向树？内向即是指向根的方向，外向即是根向外指。

此时 $D$ 需要有变化：$D_{i, i} = \sum_j w(i, j)$ 就是根向外指，是外向树。如果为 $\sum_j w(j, i)$ 则是内向树。

无向图中随意，因为无论外向还是内向结果都是一样的。

---

拓展 - 求和

生成树求和，具体来说就是求 $\sum_{T} \sum_{e \in T} w(e)$。

稍微扩展一下，求 $\sum_{T} (\sum_{e \in T} w(e))^k$。

首先观察到 $(\sum w_i)^k = \sum_{\sum a_i = k} \frac {k!}{\prod a_i !} \prod w_i^{a_i}$，整理一下得到：$= k! \sum_{\sum a_i = k} \prod \frac {w_i^{a_i}}{a_i !}$。后面这部分很像 EGF，所以对于每一个边建立其边权的 EGF，得到最终的答案为 $k! [x^k] \sum_{T} \prod_{e \in T} F^{(e)}(e)$。

后面这个部分很像矩阵树定理，于是套用高斯消元的板子，只是其元素变成了 $F^{(e)}$ 而已。

如果存在一个多项式没有逆，这是不可以的，根据矩阵树定理，如果一个图联通，那么其行列式不为 $0$，也就是这个矩阵存在逆。而对于没有逆的多项式，其满足 $[x^0]F(x) = 0$，但是对于常系数来说，其与正常的矩阵树是一样的，所以一定存在一个 $[x^0]F(x) \ne 0$ 的多项式，其一定有逆。

但是如果图不连通……其结果为 $0$ 即可。

于是对于求和的问题，就可以 $O(2^2 n^3)$ 的求解了，对于一般的问题可以 $O(n^3 k^2)$ 的完成，其中 $O(k^2)$ 是给多项式乘法和求逆的。。