算法学习笔记(14): 字符串哈希

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字符串Hash

哈希是一个玄学的方法……最适骗分法

哈希，指将信息通过某种方式的缩减，映射到某一个值域上，从而表示这个信息。

如果有两个信息同时映射到了同一个位置，那么就会产生哈希冲突。

哈希冲突在哈希表中有两种处理方式：

• 链表

• 质数后移（向后移动质数位，知道找到一个空的地方为止）

但是，在OI中，哈希冲突恰恰是毒瘤出题人卡你正确性的方法……关键是我们不一定能够保证没有哈希冲突……QwQ

所以，哈希很玄学，慎用！

字符串哈希

一般来说，字符串哈希在OI中常用的公式是 $hash(str) = \sum_{i=1}^n base^{n-i} \times str_i$。

在生产环境中，可以有 time33, md5, sha256 等经典算法。但是这里用不到……

那么用这个公式有什么好处呢？

• 可以通过 $O(n)$ 的预处理，在 $O(1)$ 得出任意一个子串的哈希值

• 可以随意拼接两个字符串，在 $O(1)$ 内得出合并后的哈希，并在 $O(m)$ 时间内再处理

• 可以扩展到二维甚至更高

• ……

不扯了……讲实现了

由于我们需要映射到某一个值域上，所以，一般来说，我们取为 unsigned long long 可以表示的值域即可。（这样也有一些其他的好处，自然溢出避免了超慢的取模运算）

那么，我们以字符串 jeefy，base 取 13 为例：

Text	Hash	Calc
j	106	$0 \times 13$ + 'j'
je	1479	$106 \times 13 +$ ’e'
jee	19328	$1479 \times 13$ + 'e'
jeef	251366	$19328 \times 13$ + 'f'
jeefy	3267897	$251366 \times 13$ + 'y'

生成代码如下

我们考虑换一种表示法：

Text	Calc
j	$13^0 + ord(j)$
je	$13^1 \times ord(j) + 13^0 \times ord(e)$
jee	$13^2 \times ord(j) + 13^1 \times ord(e) + 13^0 \times ord(e)$
jeef	$13^3 \times ord(j) + 13^2 \times ord(e) + 13^1 \times ord(e) + 13^0 \times ord(f)$
jeefy	$13^4 \times ord(j) + 13^3 \times ord(e) + 13^2 \times ord(e) + 13^1 \times ord(f) + 13^0 \times ord(y)$

想必，有了这个表之后，哈希拼接应该就很简单了吧。

$$Hash(T) = Hash(A) \times 13^{|B|} + Hash(B)$$

$|B|$ 指的是字符串的长度

我们可以预处理出 $base^i$

hashInt bofs[N] = {1}; // base_offset
for (int i = 1; i < N; ++i) bofs[i] = bofs[i - 1] * base;

那么两个计算如下

struct String {
    string s;
    hashInt ha;
}

String merge(String A, String B) {
    String s = {A.s + B.s, A.ha * bofs[B.s.size()] + B.ha};
    return s;
}

没有实际运行过程序，请自行斟酌

同理，如果我们需要字符串片段的哈希，我们可以通过合并的逆操作……

hashInt ha[N];
hashInt slice(int l, int r) { // [l, r]
    return ha[r] - ha[l - 1] * bofs[r - l + 1];
}

那么，恭喜你，掌握了哈希的大部分用法了。

房卡小专题

总所周知，哈希是出题人特别喜欢卡的一种做法，所以，我们需要较少减少哈希冲突的可能。那么比较好的解决方法是双哈希。而双哈希指的是双模数和双底数，也就是说值域和 $base$ 都不一样。这种双保险的方法是很难被卡的。

练习题

[CTSC2014] 企鹅 QQ - 洛谷

【模板】树同构（[BJOI2015]树的同构） - 洛谷

没想到吧，同构也可以通过哈希来！

[JSOI2008]Blue Mary的战役地图 - 洛谷

这道题可以用二维哈希

小知识

其实C++也是有内置的哈希函数的，参考std::hash - cppreference.com