算法学习笔记(12): 线性基

合集 - 算法学习笔记(52)

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18.算法学习笔记(12): 线性基2023-02-03

线性基

熟练掌握异或运算是食用本文的大前提，请读者留意

线性基

是什么？

是一种利用线性代数的知识，用于解决异或问题的一种手段（不能算作数据结构吧这）

本文并不会涉及到线性代数。而是从OI基础算法思想的角度阐释线性基。尽管这可能违背了设计该方法的初衷。

一般来说，预处理的时间复杂度为 $O(kn)$ 其中 $k$ 一般为 $31 \sim 32$ ，也就是 $log_2max$ 。单次操作一般也是 $O(k)$ 的复杂度。

可以做什么？

查询异或和第 $k$ 小
查询异或和最大值（最常用）
某个数可否被异或出来
……

三点性质

线性基内任何几个非0的数异或起来都不可能为0
原序列里面的任意一个数都可以由线性基内的几个数异或得来
线性基内数个个数在序列一定的情况下一定，但是线性基内的值不一定
数的个数在保证性质2的情况下是最少的，且不超过位长

如何实现？

xxj 是一个数组，至于为什么用这个名字……

令 xxj[i] 表示最高为 1 的位 i 的一个异或和（如果有的话）。

我们只需要维护这么 $k$ 个数就行了

我们可以这么理解，0100 可以由 0101 和 0001 异或和起来，那么我们只需要维护 0101 和 0001 即可。

为什么可以保证性质2？

可以理解为贪心，一位一位的拼凑出任意一个数。

严谨的证明就需要用到更深层的知识了，这里不做说明

新增一个数

考虑如何新增一个数 x 进去？

由于我们维护的是异或和，那么对于 xxj 内的任何元素都可以异或上 x 以保证至多只有 $k$ 个数。

假设 x 最高为 1 的位为 i，如果 xxj[i] 已经存在了一个数，那么我们将 x 异或上 xxj[i]，重复上述步骤，否则，就令 xxj[i] = x。

如果，最终 x 变成了 0，那么证明，用之前存在的数可以凑出 x，否则，不可以。

其实，这既是维护基的方法，也是判断某个数是否可以被异或出来的方法……

查询可以异或出来的最大值

这里，我们利用贪心的思想，先找到xxj内最大的数，也就是最高为 1 的为最高的那个数。

很明显，如果 i < j 那么 xxj[i] < xxj[j]。

假如我们找到了 xxj[i]，令 res = xxj[i]，然后逆序 j 枚举 [0, i)，如果，res 的第 j 位不为 1，那么res ^= xxj[j]。

但是……我们的实现肯定不能如此复杂，那么就考虑贪心，如果 j 位为变为了 1，那么之后的所有位都变为 1 做出的贡献都没有这个位做出的贡献大，那么我们优先保证最高位为1即可。

int qmax() {
    int ans = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        ans = max(ans, ans ^ xxj[i]);
    }
    return ans;
 }

解释了跟没解释一样……

查询异或和第 $k$ 小

我们先解决 k = 1 的特殊情况。

显而易见，就是最小的 xxj[i] 了。

但是，如果数列的数的个数比线性基内的数的个数多，那么很明显，最小值为 0。

那么特殊化一下。

其实就完全变化了

我们先将整个 xxj 数组处理一下。由大到小枚举 xxj[i]。对于个 xxj[i]，我们尽量保证其二进制下1的个数最少。那么，可以保证线性基内的第 k 个数是第 2^(k-1) 大的。

二进制拆分一下，便是答案

#define marked(x, i) (((x)>>i)&1)
int prepare() {
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        for (int j = i - 1; j >= 0; --j) {
            if (marked(xxj[i], j)) xxj[i] ^= xxj[j];
}


int kth(int k) {
    prepare();
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 30; ++i) {
        if (xxj[i]) {
            if (k & 1) res ^= xxj[i];
            k >>= 1;
        }
    }
    return res;
}

例题

模板题我们就不放了吧……

这是我们考试的一道题……至于为什么会与线性基扯上关系……我在题解中是这么写的

题解链接：2023-02-02 比赛试题及题解 - jeefies

所以，加油吧，勤奋学习的人们！

posted @ 2023-02-03 22:19 jeefy 阅读(73) 评论(0) 编辑收藏举报

jeefy

信仰，梦想，希望！

算法学习笔记(12): 线性基

线性基

是什么？

可以做什么？

三点性质