算法学习笔记(7): 二分图
二分图
Bipartite graph, 又称二部图
定义：如果一张无向图的\(N\)个节点可以分成两个没有相同点的非空集合\(A\), \(B\),且存在一种分法使得同一个集合内的点没有相连的边，那么这个图为二分图，\(A\), \(B\), 分别为此二分图的左部和右部。
判定：
定理：一个图是二分图当且仅当图中不存在奇环(长度为奇数的环)
更具该定理，我们可以通过染色法进行二分图判定：
-
尝试用两种颜色标记节点，如果有一个点的染色产生了冲突，那么这个图就不是二分图
-
染色结束之后，\(A\), \(B\)集合中的点分别为黑色点集以及白色点集
复杂度：\(O(N +M)\)
二分图的最大匹配
在二分图中选择尽量多的边，使得每一个点至多被一条边覆盖
或者说：二分图的一组匹配 \(S\) 是最大匹配，当且仅当图中不存在 \(S\) 的增广路
匈牙利算法（增广路算法）
这是一种不常用的算法
增广路定义
对于任意一组匹配 \(S\) （一个边集）, 属于 \(S\) 的边被称为“匹配边“，不属于 \(S\) 的边称为”非匹配边“，匹配边的端点为“匹配点”，其他节点为“非匹配点”。如果二分图中存在一条连接两个非匹配点的路径，使得“匹配边”和“非匹配边”交替出现，那么称这条路径为增广路，也称交错路
算法流程
- 设 \(S = \empty\) ，即所有边都是非匹配边
- 寻找一条足够长的增广路，把路径上的所有状态取反：匹配边变为非匹配边，非匹配边变为匹配边
- 重复上述步骤，直到图中不存在增广路
听着很抽象，我们换一种讲法
总流程：遍历所有点，为每一个点寻找一个匹配点，两点互相匹配，且一个点有且只有一个匹配
-
遍历每一个结点
-
尝试当前结点 \(s\) 和一个点 \(t\) 匹配，如果 \(t\) 以及被匹配，尝试更换 \(t\) 的匹配。注意：在最外层遍历时，每一次每一个点只能被匹配一次，总共最多会匹配 \(O(n)\) 次
-
重复上述步骤，使得所有点都被遍历到
算法的正确性基于能反悔的贪心策略。每一次贪心最多只会遍历图一次，为\(O(M)\)，所以，算法的时间复杂度为 \(O(NM)\)
下面给出一种参考：
int match[N], vis[N], vt = 0;
bool dfs(int x) {
// 采用链式前向星的写法
for (int y, i = head[x]; i; i = edge[i].next)
// 在每一次遍历中，一个点只会访问一次
if (!vis[(y = edge[i].to)]) {
vis[y] = vt;
if (!match[y] || dfs(match[y]) {
match[y] = x; return true;
}
}
return false;
}
int main() {
// ....
int matchCount = 0;
// vt: visit time, 用于避免memset的使用
for (vt = 1; vt <= n; ++vt) {
if (dfs(vt)) ++matchCount;
}
// ....
return 0;
}
值得一提的是，如果要寻找最大二分匹配，不仅仅可以使用最简单的匈牙利算法，使用网络流也可以做到类似的效果，并且效率更高。这一部分我放在网络流部分讲述
二分图的覆盖于独立集
下面给出的定义会非常的迷惑，请仔细阅读于理解
-
最小边覆盖：
你可以认为是用最少的边覆盖所有的点。选择尽量少的边，使得任意一个点相连的边中至少有一条边被选中 -
最小点覆盖：
同理，用最少的点覆盖所有的边。选择尽量少的点，使得任意一条边的两个端点至少有一个被选中 -
最大点独立集：
在不重复覆盖一条边的情况下，选择最多的点。选择尽量多的边，使得任意一条边的两端至多有一个点被选 -
最大边独立集：
在不重复覆盖一个点的情况下选择最多的边。这不就是最大二分匹配？ -
- DAG的最小路径点覆盖：
感觉没啥用。用最少的路径，不重复的覆盖所有的点
- DAG的最小路径点覆盖：
关系
其实这四者是有数量关系的，由于证明相对复杂，可以参考《算法竞赛进阶指南》图论二分图部分
总而言之就是：
放弃用mermaid挣扎，还是画图好用
参考题目
- CH6801
- CH6901
- CH6902
- POJ1325
- POJ2226
- ZJOI2007 矩阵游戏
- NOIP2010 关押罪犯
