算法学习笔记(1): 欧几里得算法及其扩展
扩展欧几里得算法详解
在了解扩欧之前我们应该先了解欧几里得算法
欧几里得算法
这是一个递归求最大公约数(greatest common divisor)的方法
可以通过一个类似的简单公式推导而来
好像叫做辗转相减法来着?
由于已知 \(a \mod b = a - b \lfloor \frac ab \rfloor\)
令 \(k = \lfloor \frac ab \rfloor\)则可以推导出
这里给出两种代码
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
// 这种方法稍微快了那么一点点。其实也没有什么影响
int gcd(int a, int b) {
int t;
while (b) {
t = a % b, a = b, b = t;
}
return a;
}
但是在讲扩欧之前,还需要引入一个定理
贝祖定理
若\(a,b \in \mathbb{N^+}\),则 \(\exists s, t\) 满足 \(gcd(a, b) = sa + tb\)
定义:
其中,\(s,t\)称为\(a, b\)的贝祖系数,等式 \(gcd(a, b) = sa + tb\) 称为贝祖恒等式
扩展欧几里得算法
本质上就是欧几里得算法和贝祖定理的结合产生的一种算法,可以用于求出形如
的二元一次等式的一组合法解(其中,\(a, b, c\)为参数)
在欧几里得算法中,核心的思路是这样的
而边界条件是
则,在边界时有
即可知,边界时应有\(s = 1, t = 0\)
但是我们要如何回推呢?
依据贝祖定理
以及
令等式左右的贝祖系数为\(s_1, t_1\)和\(s_2, t_2\)可以变形写出
于是可以知晓
于是,可以写出扩欧的代码
这里给出一种C-style的代码
int exgcd(int a, int b, int *s, int *t) {
if (b == 0) {
*s = 1, *t = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a % b, t, s);
*t -= (a / b) * *s;
return r;
}
当然,扩欧其实也是可以利用矩阵递推的
我们通过上述递推式可以将之转化为矩阵递推式
其中,\(-d_1 = \lfloor\frac ab\rfloor\)
于是,就可以一直乘下去
那么,有了从右向左的推导,从左向右呢?
设初始矩阵为M,则需要
所以
于是,我们可以简单的利用矩阵乘法递推了!
但是,如果真的用矩阵模拟还不如不用,所以我们还需要一定的优化
设当前矩阵\(M\)为\(\begin{pmatrix} m_1 & m_2 \\ n_1 & n_2 \end{pmatrix}\),需要乘上\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -d_k \end{pmatrix}\)
则,\(M\)变为\(\begin{pmatrix} m_2 & m_1 - m_2d_k \\ n_2 & n_1 - n_2d_k\end{pmatrix}\)
所以,就按照上面的式子写就是了(我就不提供参考了)