关系

1.1序偶及有序n元组

　　有两个元素x和y按一定得次序排列组成的有序序列称为序偶或有序对，记作<x,y>(与集合{x,y}不同);

1.2笛卡尔积

　　设A和B为集合，称集合{<a,b>|a属于AΛb属于B}为A和B的笛卡尔积，记作AxB。当A=B时，记为A²。

　　Ax(BυC)=(AxB)υ(AxC)

　　Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)

2.1关系

　　任一序偶的集合确定了一个二元关系R，R中的任一序偶<a,b>可记作<a,b>属于R或aRb。不在R中的任一序偶<a,b>可记作<a,b>不属于R或aR非b。若aRb,我们说a和

　　b具有关系R

　　令R为二元关系，D_R={x|至少存在一个y使得(xRy)}为定义域，R_R={y|至少存在一个x使得(xRy)}为值域。域记为F_R=D_RυR_R。

　　I_A是A上的二元关系，且满足I_A={<x,x>|x属于A}，则称I_A为A上的恒等关系。

　　D_RυS=D_RυD_S

　　D_R∩S属于D_R∩D_S

　　D_R-D_S属于D_R-S

　　R_RυS=R_RυR_S

　　R_R∩S属于R_R∩D_S　　

　　R_R-R_S属于R_R-S

2.2关系的性质

　　设R属于AxA,则：

　　若对于所有的x(x属于A -> xRx)，称R是自反的

　　若对于所有的x(x属于A -> 非(xRx))，称R是反自反的

　　若对于所有的x，所有的y(x，y属于A且xRy -> yRx)，称R是对称的

　　若对于所有的x，所有的y(x，y属于A且xRy -> 非(yRx))，称R是非对称的

　　若对于所有的x，所有的y(x，y属于A且(xRy且x不等于y)-> 非(yRx))，称R是反对称的，比非对称多一个条件而已

　　若对于所有的x，所有的y，所有的z(x，y，z属于A且xRy且yRz -> xRz)，称R是传递的

　　若对于所有的x，所有的y(x，y属于A且x不等于y -> (xRy) ν (yRx))，称R是连通的

　　若对于所有的x，所有的y(x，y属于A -> (xRy) ν (yRx))，称R是强连通的

2.3关系的闭包

　　对给定的关系R和一种性质P，包含R且满足性质P的最小关系称为R对于P的闭包，记作P(R)

　　设R是非空集合A上的二元关系，则

　　(1)R的自反闭包r(R) = R并上I_A

　　(2)R的对称闭包s(R) = R并上R的逆

　　(3)R的传递闭包t(R) = Rⁱ求并(i从1到...),直到t(R)不变为止

　　Warshall算法求传递闭包：

　　思路:要求矩阵M的传递闭包

　　　　(1)置新矩阵A=M;

　　　　(2)i=1;(i表示列)

　　　　(3)对所有j，如果A[j,i]=1,则对k=1,2,...,n，A[j,k]=A[j,k]|A[i,k];

　　　　(4)i++;

　　　　(5)如果i<=n,则转到步骤(3)，否则停止。

void warshall(int a[][], int n)
{
    int i, j, k;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i != j)
            {
                if (a[j][i])
                {
                    for (k = 1; k <= n; k++)
                        a[j][k] = a[j][k] | a[i][k];
                }
            }
        }
}