高等数学笔记
高等数学概念、公式及常用结论
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第一章 函数 极限 连续
常用的基本极限
1-无穷型 极限常用结论
常用的等价无穷小
x→∞，有时也可以使用等价无穷小代换。只要函数内部是无穷小即可。比如，x→∞时，sin(1/x)~1/x。
洛必达法则求极限
什么时候可以用洛必达法则
洛必达法则的适应类型
泰勒公式求极限
略，见下一章
利用单调有界准则求极限
- 证明极限存在（单调有界）
- 等式两端取极限进行运算
求极限时的常用结论
1.先证明有界性
在利用单调有界准则求极限的时候，几个常用不等式一定要想到下列不等式来证明有界性！！！
-
两个正数乘积或者两个正数相加的时候：
-
三个（或以上）正数相乘相加：
算数平均值、几何平均值
2.再证明单调性
- 后项减前项
- 后项比前项
无穷小量阶的比较（其实就是0比0极限计算）
- 洛必达法则
- 等价代换
- 泰勒展开式
第二章 导数与微分
导数与微分的概念
导数与微分的几何意义
微分dy是切线上的改变量。用dy来代替$\Delta$y,几何上是用切线上的改变量来代替实际上曲线上的改变量。换言之，再微小的局部，用直线的均匀变化来代替曲线的非均匀变化。
导数定义证明常用方法
连续、可导、可微之间的关系
倒数公式及求导法则
基本初等函数的导数公式
隐函数求导法
反函数的导数
高阶导数
常用的高阶导数公式
高阶导数求导方法：
- 直接使用公式
- 求一阶导数，二阶导数…归纳规律
第三章 微分中值定理及导数应用
微分中值定理
费马引理、罗尔定理
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理几何意义：曲线上至少有一点的切线，和连接两端点的弦是平行的。
柯西中值定理
微分中值定理的关系
微分中值定理的本质都是用来建立导数和函数之间的联系。当题目给我们导数的条件，让我们研究函数，或者相反。我们就应该想到使用微分中值定理。
上面四个定理都是用来建立一阶导数和函数之间的关系，当我们需要建立高阶导数与函数之间的关系时，往往使用泰勒公式。
泰勒公式
泰勒展开式的意义
- 建立f(x）和高阶导数的关系·
- 用多项式来逼近f(x)。因为多项式求极限、导数和积分都很简单。
皮亚诺余项和拉格朗日余项的比较
-
皮亚诺余项称为（局部泰勒公式）。因为只能保证误差在$x$充分靠近$x_0$ 的时候比较小。
-
拉格朗日余项（整体）。在n趋向无穷的时候在一个大的范围内都是趋向于0的。
-
皮亚诺余项-局部性态-极限、极值
-
拉格朗日余项-整体性态-最值、不等式
常用的泰勒公式
泰勒公式记忆方法
其他几个泰勒展开式可以通过等价代换推导
导数应用
极值
最值（最大值、最小值）
曲线的凹凸性
拐点
渐近线
快速判断、找到斜渐近线
首先几何上理解渐近线：
曲线上的一个动点，沿着曲线趋向于无穷远时，这个点到直线之间的距离，记作d。如果距离d趋向0，那么这条直线就叫做曲线的渐近线。
如果这条直线是水平的，那就是水平渐近线。如果直线是垂直的，就是垂直渐近线。如果直线是斜的，那就是斜渐近线。
如果一个曲线能够写成一个线性函数（ax+b）加上趋向0的数的形式。那么这个曲线就有斜渐近线，且那个线性函数就是该曲线的斜渐近线。
方程的根（证明）
不等式的证明
常用不等式、基本不等式、经典不等式
中值定理证明题
第四章 不定积分
不定积分的概念与性质
原函数存在定理
不定积分的性质
不定积分基本公式
三种主要积分法
第一换元积分法（凑微分法）
常见的凑非分形式： 
(3)很常用
第二换元积分法（三角代换去根号 ）
分部积分法
三个常用的积不出的积分
三类常见可积函数积分
有理函数积分
部分分式法：把分母分解因式分解到不能再分解，然后进行拆项，（这里可以通过初等数学里拆项裂项技巧进行操作）然后逐个积分。考试中该方法用得很少，基本都是特殊方法
三角有理式积分
三角有理式可以通过万能代换法，一定能做出来，但是运算量很大。尽量使用特殊方法。
一般三角函数次数比较低的积分适合用万能代换，如果方次高的话，代换完了，有理式的方次也很高，比较麻烦。
简单无理函数积分
对于此类函数积分，很少能找到简单方法，所以一般都是用这种一般方法。
第五章 定积分与反常积分
定积分的概念
定积分的性质
积分上限的函数
微积分第一基本定理
定理
定积分的计算
利用已有公式（华氏公式）
计算n项和极限时，如何判断使用夹逼原理还是定积分的定义
- 计算n项和极限时，需要首先判断n项中的变化部分和主体部分。
- 用变化部分比上主体部分，当n趋向于无穷大时，如果等于0，那么说明变化部分是主体部分的次量级，这时候用夹逼原理。如果二者之比为非零常数，那么说明是同量级，这时候用定积分的定义来计算（提1/n可爱因子）。
定积分几何意义算定积分的值
两个常用基本结论： 
无穷区间上的反常积分
上述极限存在，则称反常积分收敛；反之，则称其发散。
常用结论（p积分）
无界函数的反常积分
常用结论（p积分）
常考题型：
- 反常积分的敛散性（使用定义，使用p积分）
- 反常积分的计算
第六章 定积分的应用
几何应用
平面图形的面积
这两个公式可以算，或者可以直接对1做个二重积分，也能算出来面积。
旋转体体积
该公式可以用，但下面有更一般方法。 
-
环绕x轴旋转： 竖带绕着x轴旋转，形成一个以x轴为圆心的薄原片，然后再从a到b积分。
-
环绕y轴旋转： 竖带绕着y轴旋转，形成薄圆筒，把这个圆筒从某处截断，展开成一个长方体。长方体的长度就是圆筒的周长2*pi *x；长方体的截面积等于高度f(x)c乘以宽度dx。
注意：上面的方法可以用，但是同样的，能够有更加一般、简单的方法来处理这一类题目。
可以使用二重积分来解决这类问题。 
第七章 微分方程
常微分方程的基本概念
一阶微分方程
可分离变量的方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
注意：只要加最后面一个常数C，前面的积分都不用加常数，而且前面积分积出来ln(x)都不用加绝对值。
高阶线性微分方程
方程（1）的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。
常系数齐次线性微分方程
虽然这个方法是用于二阶微分方程，但是三阶乃至于更高阶其实都适用。比如三阶方程解出来三个根，那么把这些根所对应的解加起来就能得到三阶微分方程的解。
### 常系数非齐次线性微分方程 
差分方程
第八章 多元函数微分学
多元函数的极限
多元函数的连续性
偏导数
高阶偏导数
全微分
连续、可偏导及可微之间的关系
复合函数微分法
全微分形式的不变性
隐函数微分法
求偏微分的两种方法
- 直接对于给定的公式两端对x求偏导，整理得出z对x的偏导。z对y的偏导同理。注意：在使用此方法时，把z作为x，y的函数并进行求导。
- 使用上述公式求偏微分。注意：当对大F求x的偏导时，要把z当做常数来处理，千万不要当做函数继续求导！！！
- 利用微分形式不变性。把dz用dx和dy表达出来。
无约束极值
条件极值及拉格朗日乘数法
最大值、最小值
略
第九章 二重积分
二重积分的概念及性质
二重积分的计算
利用直角坐标计算
利用极坐标计算
利用函数的奇偶性计算
利用变量的轮换对称性计算
第十章 无穷级数
常数项级数
级数的审敛准则
正向级数
交错级数
任意项级数
幂级数
注意：
当遇到缺项的幂级数的时候，不能直接用上面的这个公式，计算方法如下： 
幂级数的性质
函数的幂级数展开
几个常用的展开式
