Algorithm --> 二分图最大匹配
匈牙利算法
二分图:把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和 V ,使得每一条边都分别连接U 、 V 中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。
匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边:例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。
最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。
完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。
交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如,图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出):
代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int MaxN=100; int N,M; int Ans; int link[MaxN]; bool cover[MaxN]; bool Map[MaxN][MaxN]; void init() { int i,x,y; scanf("%d%d",&N,&M); memset(Map,false,sizeof(Map)); for(i=1;i<=M;++i) { scanf("%d%d",&x,&y); Map[x][y]=true; } } bool Find(int i) { int j; for(j=1;j<=N;++j) if(Map[i][j] && !cover[j]) { cover[j]=true; if(!link[j] || Find(link[j])) { link[j]=i; return true; } } return false; } void solve() { int i; memset(link,0,sizeof(link)); for(i=1;i<=N;++i) { memset(cover,false,sizeof(cover)); Find(i); } } void print() { int i; Ans=0; for(i=1;i<=N;++i) if(link[i]) Ans++; printf("%d\n",Ans); for(i=1;i<=N;++i) if(link[i]) printf("%d %d\n",link[i],i); } int main() { init(); solve(); print(); return 0; }
例一:二分图
给定一个图(可能为非联通图),将其二分,得到两个数组,输出其中某个数组的个数和顶点?
输入用例(二分图检测):
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
9 8 4 1 1 2 2 3 7 2 1 5 8 4 5 8 8 9 7 10 1 2 2 3 1 6 4 6 2 4 2 7 2 5 6 7 3 5 5 7 15 22 7 3 9 8 1 10 1 15 8 3 9 11 5 12 8 4 1 4 13 7 14 11 12 8 6 8 2 8 15 8 7 15 8 10 14 5 8 13 11 2 8 14 6 5 21 26 8 7 10 21 5 4 18 11 5 12 10 6 9 3 15 16 16 10 17 11 12 2 20 3 7 2 19 4 13 4 13 10 15 6 12 19 8 3 7 20 14 11 9 11 4 21 17 3 12 1 7 1 40 57 6 22 22 23 36 21 18 19 4 5 33 36 19 16 5 2 36 38 17 37 11 12 30 19 11 21 5 39 25 27 29 22 11 28 4 10 10 17 37 1 33 11 8 37 10 1 14 10 36 35 24 19 9 26 36 31 27 37 34 6 11 2 16 9 38 34 7 37 5 12 23 19 34 31 29 34 34 35 5 28 13 9 22 3 32 37 34 3 30 9 40 11 8 25 20 19 20 9 22 18 5 14 39 10 32 10 36 40 15 9 22 24 7 25 50 49 23 12 49 43 18 12 18 25 22 29 27 8 6 33 17 34 20 33 5 3 8 25 3 21 37 27 41 19 28 5 15 44 34 49 27 4 13 33 22 30 31 35 1 18 16 9 48 25 27 6 5 7 44 39 42 36 11 35 3 50 27 31 36 32 2 8 16 22 47 26 28 24 6 16 5 10 15 38 45 18 5 6 14 13 9 40 28 36 5 34 44 6 6 26 46 3 41 33 50 1225 12 26 26 36 49 31 21 3 30 28 21 48 43 6 48 20 15 45 16 24 37 40 35 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2 19 29 24 48 32 34 46 18 12 14 19 25 6 33 49 27 43 27 7 18 25 17 4 25 46 35 10 13 41 44 35 8 46 5 41 32 7 13 47 11 36 9 28 10 5 25 35 48 42 2 9 46 17 33 1 8 49 39 35 43 50 15 14 45 2 7 44 7 41 8 27 28 10 32 34 42 21 5 46 10 18 13 14 6 9 50 12 6 1 17 44 17 42 30 2 43 33 11 44 11 16 14 9 6 20 32 18 16 13 39 4 19 23 5 43 1 35 11 2 11 21 41 26 9 36 5 26 2 12 8 15 33 41 39 20 39 40 17 47 32 49 37 32 1 32 46 8 39 14 30 23 43 21 36 28 18 44 34 46 4 13 40 14 4 46 27 44 42 38 45 18 50 49 25 47 34 10 26 37 14 3 9 29 44 15 34 3 39 23 19 44 19 1 5 10 17 38 25 11 32 38 19 33 44 21 8 36 43 41 42 30 34 50 19 7 24 34 3 20 31 20 36 17 45 9 28 33 14 6 34 10 8 24 47 11 24 1 4 40 18 42 39 26 19 8 43 44 38 48 47 24 4 17 46 24 2 8 9 12 30 3 36 37 31 27 48 3 2 42 16 29 12 28 29 45 1 1 27 46 1 11 21 2 47 13 5 32 22 6 1 19 5 33 40 37 2 42 49 28 24 19 20 35 49 20 50 31 50 22 27 29 26 20 7 42 18 48 34 6 23 5 3 34 49 1 3 38 50 25 10 45 49 21 20 5 50 13 41 26 40 38 24 1 14 5 2 37 15 8 31 50 47 7 40 43 26 10 50 29 48 7 42 36 40 15 49 6 49 10 15 1 35 18 17 46 26 18 9 23 25 39 11 28 34 3 16 8 6 28 11 9 47 36 23 24 49 42 28 23 31 7 28 34 27 35 17 37 33 38 6 18 45 48 38 8 23 6 7 29 2 17 13 28 40 21 23 14 32 35 34 13 21 36 12 41 29 29 37 47 40 7 49 17 14 46 41 30 5 28 22 35 28 48 17 16 31 19 2 47 46 36 27 37 35 13 43 4 44 28 21 38 28 48 7 15 47 1 7 22 42 45 7 27 10 48 46 5 39 33 47 20 11 20 29 38 7 34 50 30 2 9 34 20 43 2 35 11 38 32 28 47 6 43 34 1 22 47 35 21 9 12 5 48 11 19 6 36 19 19 39 5 47 21 50 21 14 31 39 50 4 33 5 29 35 32 17 17 6 30 21 40 27 32 7 28 36 17 42 16 43 48 39 20 33 25 30 39 24 42 45 45 27 24 17 12 10 13 50 27 42 19 15 45 48 23 47 46 37 25 12 1 39 29 8 21 31 17 49 3 20 30 40 17 20 24 1 33 29 37 27 25 22 23 29 38 26 11 42 6 36 31 24 35 40 7 43 45 3 43 50 16 33 9 19 40 20 15 35 7 26 43 45 20 14 45 20 16 50 48 42 26 13 20 15 40 42 45 44 35 26 45 8 38 39 22 34 13 15 39 6 4 3 21 34 2 13 16 23 24 19 9 1 16 28 31 33 4 45 41 40 37 23 25 13 21 42 19 12 7 8 9 23 32 43 19 42 21 25 42 43 33 7 27 17 9 17 30 20 40 39 29 21 13 32 28 46 8 47 30 17 39 29 39 9 37 38 5 27 9 16 43 18 21 35 34 33 20 2 15 11 27 39 45 16 8 25 45 35 49 46 45 2 9 49 44 13 14 19 48 18 12 13 37 20 35 10 41 22 2 48 16 13 48 1 49 8 20 10 30 45 50 22 2 12 4 10 17 41 2 1 6 46 16 39 43 30 2 23 30 35 34 26 20 49 33 41 39 2 20 46 15 39 44 24 32 23 26 30 6 4 14 41 49 23 46 29 34 17 38 2 36 11 20 42 13 24 18 34 19 30 16 48 28 26 17 21 31 30 13 4 41 12 34 10 1 37 27 47 19 17 37 44 23 26 1 28 9 7 37 8 5 6 41 7 20 44 38 14 24 20 48 3 30 10 1 29 21 47 30 44 20 4 22 23 43 11 36 24 39 10 10 7 46 44 16 37 38 33 36 15 17 36 9 33 44 35 44 6 42 4 1 26 22 8 10 33 33 8 27 15 14 11 5 49 1 13 11 16 11 19 49 41 38 36 50 26 20 5 34 46 48 30 45 47 2 50 29 50 47 16 19 28 23 1 17 29 41 16 49 11 33 19 19 10 43 12 11 25 22 43 39 26 45 12 43 37 9 4 35 39 10 47 17 15 41 4 50 46 29 14 31 12 16 46 30 36 12 46 11 40 43 40 49 14 30 4 3 35 26 18 19 32 20 9 12 4 30 33 27 8 24 14 37 28 25 16 40 14 17 12 8 26 2 34 15 6 29 3 34 4 10 5 12 18 4 11 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13 3 8 27 50 602 13 23 31 12 21 36 19 40 24 16 3 23 43 23 10 24 50 29 20 39 2 46 9 4 25 6 37 45 4 31 39 37 41 13 34 22 13 17 44 39 27 8 47 49 9 32 40 20 19 15 18 42 14 34 18 17 46 34 25 11 38 32 16 13 25 36 41 21 11 13 31 48 25 5 18 1 44 12 18 29 45 9 4 19 3 30 31 8 18 5 50 41 20 8 36 5 47 23 13 10 40 31 9 38 10 50 36 33 35 10 44 14 33 43 10 43 43 11 49 36 24 6 4 7 37 27 20 34 7 2 18 16 8 37 49 16 32 45 50 24 42 33 12 14 41 35 48 32 21 47 23 6 31 39 36 18 31 27 49 25 7 15 6 3 24 47 7 46 42 17 44 9 42 35 38 15 47 41 28 38 11 21 14 15 28 27 33 10 11 29 8 28 25 29 8 4 31 14 25 42 27 48 46 32 16 10 34 32 16 11 33 13 11 6 35 1 45 46 16 33 48 39 29 5 45 22 24 11 40 34 37 15 28 14 19 8 45 34 45 8 47 33 38 27 40 8 8 12 37 46 7 8 6 43 45 19 16 50 3 18 12 40 16 1 1 17 28 12 8 26 24 43 50 35 9 8 11 41 37 9 49 33 17 16 33 35 45 15 23 50 49 21 24 30 5 13 22 31 12 34 46 48 9 26 42 43 33 30 49 6 43 16 20 2 5 42 4 12 49 10 3 16 7 40 7 26 19 26 11 47 41 49 22 37 4 37 41 16 39 2 50 43 12 9 11 5 45 44 1 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18 21 39 38 44 19 20 46 17 29 2 14 14 4 31 28 41 42 25 24 2 44 24 5 32 14 48 2 39 46 38 34 14 22 39 28 7 22 34 28 21 16 21 23 12 22 25 43 32 4 41 24 8 48 12 46 22 32 1 49 8 14 41 36 26 46 3 43 5 30 30 50 17 33 28 19 19 46 5 16 23 25 30 6 20 4 16 35 22 38 34 37 4 44 49 50 22 27 29 36 25 17 6 18 46 40 15 27 49 24 48 9 37 7 31 20 33 25 19 48 38 7 26 31 25 35 38 44 26 32 40 9 1 33 18 30 27 14 42 10 1 10 49 30 15 46 31 15 46 8 33 41 39 8 27 7 41 5 37 40 49 42 4 34 14 37 14 38 23 16 16 29 7 31 17 23 6 1 23 36 28 22 9 31 11 23 40 44 18 13 30 1 4 39 6 50 48 22 19 14 23 10 1 23 4 48 33 24 44 34 30 23 33 29 25 30 35 23 35 36 43 13 5 35 48 34 45 39 28 48 42 11 25 21 1 36 19 2 6 10 17 3 2 31 47 16 29 49 24 35 20 44 1 25 16 25 26 14 7 44 40 27 6 29 49 3 7 32 21 29 9 28 1 29 5 47 18 33 40 2 42 1 28 44 29 43 20 15 14 48 23 24 6 35 44 26 30 43 39 7 7 12 22 40 32 15 3 10 45 14 14 39 33 21 18 35 21 1 15 12 1 43 12 45 20 26 35 29 22 2 6 47 35 47 4 15 38 4 3 5 40 48 38 26 44 15 9 27 20 22 20 32 30 11 13 6 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17 48 31 47 34 49 27 47 41 47 38 47 26 17 47 34 39 47 36 47 4 47 12 14 17 16 15 47 3 20 44 47 35 47 17 6 22 17 17 41 34 17 18 47 17 42 14 17 47 42 18 17 17 32 12 47 40 17 27 29 23 7 17 4 36 17 9 13 39 41 43 50 16 33 19 47 6 47 19 3 17 13 45 21 32 39 27 24 47 10 25 47 36 37 47 32 26 2 15 50 1 46 30 47 38 21 47 14 17 1 17 37 24 47 47 1 24 17 29 33 12 31 47 9 17 29 47 28 17 19 6 4 17 28 5 47 50 17 16 47 2 17 2 6 10 19 17 46 44 35
算法代码:
#include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAX 1001 int path[MAX][MAX] = {0}; int c[MAX] = {0}; int group[MAX] = {0}; int count = 0; int N, E; int value[3] = {0, 2, 1}; int partition(int start) //给每个点分组,存到group[] { for(int i = 0; i < c[start]; i++) { int city = path[start][i]; if(group[city] != 0) { if(group[city] == group[start])return 0; //相邻两个点分组一样,则返回0,不是二分图 } else { group[city] = value[group[start]]; if (group[city] == 1)count++; if(!partition(city))return 0; } } return 1; } int getNoGroup(int * pt) { for (int i = 1; i <= N; i++) { if (!group[i]) { *pt = i; return 1; } } return 0; } int main(void) { freopen("input3.txt", "r", stdin); //freopen("output.txt", "w", stdout); for(int test_case = 1; test_case <= 10; test_case++) { scanf("%d %d\n", &N, &E); for(int i = 0; i < E; i++) { int pt1, pt2; scanf("%d %d", &pt1, &pt2); path[pt1][c[pt1]++] = pt2; path[pt2][c[pt2]++] = pt1; } int start = 0; bool errorFlag = false; //判断是否是二分图 while(getNoGroup(&start)) //当非连通图的时候,也能遍历到 { group[start] = 2; if(!partition(start)) { errorFlag = true; break; } } if(errorFlag)printf("#%d -1\n", test_case); else { printf("#%d %d", test_case, count); for(int i = 1; i <= N; i++)if(group[i] == 1)printf(" %d", i); printf("\n"); } memset(group, 0, MAX*4); memset(path, 0, MAX*MAX*4); } return 0; }
例二:圣诞礼物
给定人数和礼物数量,接下来给出每个人喜欢的礼物的编号,求最大匹配?
输入用例(二分图最大匹配):
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5 3 4 3 1 2 3 1 2 2 1 3 10 10 3 1 7 8 3 5 9 10 3 3 6 10 3 5 6 9 3 4 5 8 3 1 8 10 2 3 8 2 4 8 3 2 3 6 3 4 6 7 15 15 2 12 13 2 1 11 2 8 12 2 7 9 2 12 15 2 6 8 2 5 12 2 12 14 2 10 12 2 3 4 2 11 13 2 10 11 2 8 15 2 8 15 2 13 14 50 50 2 12 30 2 18 43 2 11 46 2 30 37 2 25 28 2 2 49 2 26 36 2 3 27 2 23 50 2 2 50 2 17 22 2 47 48 2 8 11 2 41 49 2 6 18 2 18 43 2 36 48 2 8 36 2 22 31 2 6 37 2 39 49 2 5 25 2 25 31 2 24 27 2 4 27 1 25 2 21 43 2 1 23 2 22 31 2 37 42 2 35 40 2 5 37 2 20 40 2 1 45 2 11 32 2 6 10 2 10 20 2 34 44 2 10 40 2 18 44 2 37 42 2 19 29 2 13 41 2 30 44 2 13 21 2 2 30 2 5 34 2 25 38 2 23 33 2 25 34 1 0 0 5 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
算法代码:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <vector> using namespace std; #define MAX 401 int map[MAX][MAX] = { 0 }; //第i个人的每个礼物的编号 int c[MAX] = { 0 }; //第i个人一共可能连多少个礼物 int check[MAX] = { 0 }; //表示当前第i个人已经遍历过的礼物编号 int matching[MAX] = { 0 }; //礼物和人匹配的状态 bool dfs(int u) { for (int i = 0; i < c[u]; i++) { int v = map[u][i]; if (!check[v]) { check[v] = true; if(matching[v] == 0 || dfs(matching[v])) { matching[v] = u; matching[u] = v; return true; } } } return false; } int main(int argc, char** argv) { freopen("input.txt", "r", stdin); int case_max; scanf("%d\n", &case_max); for(int case_num = 0; case_num < case_max; case_num++) { int personCnt, giftCnt; scanf("%d %d\n", &personCnt, &giftCnt); for(int i = 1; i <= personCnt; i++) { int favoriteCnt; scanf("%d ", &favoriteCnt); for(int j = 1; j <= favoriteCnt; j++) { int favorite; scanf("%d", &favorite); //map[i].push_back(personCnt+favorite); map[i][c[i]++] = personCnt + favorite; map[personCnt + favorite][c[personCnt + favorite]++] = i; } } int result = 0; for(int i = 1; i <= personCnt; i++) { if (matching[i] == 0) { memset(check, 0, sizeof(check)); if(dfs(i))result++; } } printf("%d\n", result); memset(map, 0, sizeof(int)*MAX*MAX); } }