【LeetCode】96. Unique Binary Search Trees

题目： 

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example, Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

提示：

这道题可以用动态规划的思路解决。既然动态规划的核心是把问题拆分成子问题，考虑到BST的特性，我们可以得到如下推导公式：

F(i, n) = G(i-1) * G(n - i)

F(i, n)的含义是：以i为根节点，且总共有n个节点的树。例如F(2,3)就是说以2为根节点，总共有3个节点，那么其实就只有一种情况，即：

      2
     / \
    1   3

由于BST的特性，所以当树以i为节点时，左子树会有i-1个节点，右子树则会有n-i个节点，很容易联想到G(n)的含义为：总数为n个节点的BST有多少种可能，那么当我们将G(i-1) * G(n - i)相乘时，得到的就是左右子树总共可能的组合。

至此，dp的状态方程就已经很明了了。

代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};