【牛客】动态规划入门

1. 斐波那契数列

这似乎是一个老生常谈的题目

在古老的年代，天地间诞生了一个会自己增长的数列。大地赐予它生命，告诉它1为万物之始。天空则传授了它数列增长之道，告诉它永远以前一刻的自己为基石，方可不断超越自我，实现数列之永恒。于是这个数列就这样开始了它艰辛的增长之路，1，1，2，3，5，8，13，21，34 ... 功夫不负有心人，终于有一天，一个数学家发现了它，将它命名为Fibonacci数列，并将这个数列的传奇故事介绍给了世人。

所以，在座的程序员们，第n个数字是几呢，请写出你的代码 -_-

当我看到这个题目，第一反应是，就这？一个递归不就搞定了

public:
    int Fibonacci(int n) {
         
        if(n==1||n==2){
            return 1;
        }else{
            return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
        }
    }
};

在牛客上一运行，确实通过了所有测试用例，但是运行时间也很吓人，237ms ！好家伙！

这时我想起来我貌似选的是动态规划练习题...好吧，我不会动态规划啊，于是首先去百度了下动态规划。再回到这个问题上来，上面这种简单递归的写法，有两个问题：

1）存在太多的重复计算，比如n=5，f(5)=f(4)+f(3)，显然这里要算一次f(3)，然后f(4)=f(3)+f(2)，这里又要算一次f(3)，而类似的重复计算还有很多。n越大，整个递归树就越大，重复计算就越多。

2）会出现递归的栈溢出，因为函数的调用是通过栈实现的。

这里加一嘴，请原谅我的偏题：如果编程语言对尾递归有优化，我们将递归写成尾递归可以避免栈溢出。什么是尾递归呢，就是在函数返回的时候，调用函数本身，并且return语句不能包含表达式。所以...很遗憾的是java和python语言都未对尾递归做优化。但是python的话可以使用@tail_call_optimized这个装饰器实现尾递归优化。另外再看看c++，我们只需在gcc后面加上-O2参数，就可以实现尾递归优化。

那么如何使用动态规划计算斐波那契数列呢，这是我的代码

 public int Fibonacci(int n) {
        if(n==1||n==2)
            return 1;
        int dp[] = new int[n];
        dp[0] = 1;//dp[i],i=n-1
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<n;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n-1];
 }

大致就是，之前用递归，是一个自顶向下的过程，比如n=5，我们是从5到1去推进。而这里是一个自底向上的过程，先计算n=1，n=2 ... 保存到数组里，然后自然而然地算出n=5的情况，很显然这样有效避免了重复计算，也不需要使用递归。

2. 跳台阶

再做一个简单的动态规划题巩固一下

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。1<=n<40

以下是简单的java解法

public int jumpFloor(int target) {

      int[] dp = new int[target+1];
      dp[0]=1;
      dp[1]=2;
      for(int i=2;i<target;i++){
          dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1];
      }
      return dp[target-1];
}

3. 换钱币

这个题目和跳台阶非常相似，一起做为简单入门题了

给定数组arr，arr中所有的值都为正整数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个aim，代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。

如果无解，请返回-1

这个代码我当时是抄的答案，理解后加上了我的注释

 public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = amount + 1;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, max);
        dp[0] = 0;//0元无法组合，返回0个硬币
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
        //外循环从金额为1开始，自底向上，一直到需要的金额
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                //假设已知dp[i]的最优组合，组合中最后一枚硬币面值为coins[j]
                //面值大于总金额的硬币不可能是组合成员之一，用条件语句过滤掉
                //dp[i]可以通过dp[i-x]+1计算出
                //但是不清楚x为哪个面值，所以通过该内循环试验出
                if (coins[j] <= i) {
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }