数三角形
\(O(nmlogn)\)
首先，我们处理本题，对于正向思维，即将所有的满足题意的三角形直接数出并不容易实现，我们可以考虑从反面入手，只要从所有的情况中减去不合法的情况即可
对于一条横向的线，不合法的数量为 \(C(m+1,3)\) ，同理，对于一条竖直的线，不合法的数量即为 \(C(n+1,3)\) 个
对于一条斜向的线，我们可以从两个点之间的距离入手，考虑这两个点之间不合法情况的数量，对于横向距离为 \(i\) , 对于纵向距离为 \(j\) 三角形，一共有 \((m-i+1) \times (n-j+1)\) 个，其中每个三角形对于不合法的数量的贡献为: \(gcd(i,j)-1\) ，同时，我们用这种方式只能处理出斜率非负的情况，再将其乘以 \(2\) 即可
复杂度： \(O(nmlogn)\)
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define ll long long
const ll maxn=1e3+10;
ll n,m;
ll vis[maxn][maxn];
inline ll cal(ll x)
{
if(x<3) return 0;
return x*(x-1)*(x-2)/6;
}
inline ll gcd(ll a,ll b)
{
return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
int main(void)
{
scanf("%lld %lld",&n,&m);
ll sum=cal((n+1)*(m+1));
sum-=cal(n+1)*(m+1);
sum-=cal(m+1)*(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
sum-=(n-i+1)*(m-j+1)*(gcd(i,j)-1)*2;
}
}
printf("%lld\n",sum);
return 0;
}
\(O(n)\)
我们可以考虑对于斜着的线的计数方案，即：
\[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\displaystyle \sum_{j=1}^{m}{(n-i+1)(m-j+1)(gcd(i,j)-1)}}
\]
那么，我们可以用 \(id\) 函数改写为：
\[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\displaystyle \sum_{j=1}^{m}{(n-i+1)(m-j+1)[id(gcd(i,j)-1)]}}
\]
卷开即得：
\[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\displaystyle \sum_{j=1}^{m}{(n-i+1)(m-j+1) \displaystyle \sum_{d|gcd(i,j)}^{d \neq 1}{\varphi(d)}}}
\]
变更枚举顺序得：
\[\displaystyle \sum_{d=2}^{min(n,m)}{\varphi(d) \displaystyle \sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}{(n-i \times d +1 )} \displaystyle \sum_{j=1}^{\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor}{(m-j \times d +1 )}}
\]
对于式 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}{(n-i \times d +1 )}\) ，显然即为一个等差数列求和，其首项为 \(n-1\times d+1\) ，末项为 \(n- \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor \times d +1\) ，则和为
\[((n-1\times d+1)+(n- \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor \times d +1)) \times \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor \times \frac{1}{2}
\]
即为：
\[{(n-d+(n \bmod d)+2)} \times \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor \times \frac{1}{2}
\]
故总和为：
\[\frac{1}{4} \displaystyle \sum_{d=2}^{min(n,m)}{\varphi(d)}{{(n-d+(n \bmod d)+2)} \times \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}{{(m-d+(m \bmod d)+2)} \times \lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor}
\]
则线性筛预处理欧拉函数后 \(O(n)\) 求和即可
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
const ll maxn=1e3+10;
ll n,m,tot,sum,ans;
ll phi[maxn],vis[maxn],prime[maxn];
inline ll cal(ll x)
{
if(x<3) return 0;
return x*(x-1)*(x-2)/6;
}
inline void pre(ll x)
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=x;i++)
{
if(!vis[i])
{
vis[i]=1;
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=x;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int main(void)
{
scanf("%lld %lld",&n,&m);
pre(maxn-5);
ans=cal((n+1)*(m+1));
ans-=cal(n+1)*(m+1);
ans-=cal(m+1)*(n+1);
// for(int i=1;i<=100;i++)
// {
// printf("%lld\n",phi[i]);
// }
for(int i=2;i<=std::min(n,m);i++)
{
sum+=phi[i]*(n-i+(n%i)+2)*(n/i)*(m-i+(m%i)+2)*(m/i)/2;
}
// printf("%lld\n",sum);
printf("%lld\n",ans-sum);
}
