期望简述

概念

数学期望，简称期望，就是指在实验中事件发生的概率乘以该事件的价值的总和，可以反应随机变量的平均取值大小

离散型变量:若一个变量的值域为一段或几段区间，且该变量的取值是有限或无限个，但是能够按一定次序枚举列出，则称其为离散型随机变量，对应的，它的每个取值的概率 \(p(i)\) 与它的对应取值 \(a_i\) 的乘积之和，即为期望值( \(E(X)\) )，称为离散型随机变量的数学期望，即：\(E(X)=\sum_{i=1}{a_i \times p(i)}\)

连续型变量：在该变量的值域上，无法按照某种次序将这些变量的取值一一列出，则称其为连续型随机变量

性质

• 一个常量的期望等于它本身（显然，常量被取到的概率为 \(1\) ）

• 和的期望等于期望的和，即 \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) (这个性质最为常用)

• \(E(CX)=C \times E(X)\) ( \(C\) 为一个常量，\(X\) 为一个事件)

• 若 \(X , Y\) 为两个相互独立的事件，则有 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P6858

题意简述:

有一个长为 \(n+m\) 的 \(01\) 串，其中有 \(n\) 个 \(1\) 和 \(m\) 个 \(0\) ，每次可以进行一次操作，可以将一个 \(0\) 删除，同时将串中剩余的所有 \(0\) 都变为 \(1\) ，或者是将一个 \(1\) 变为 \(0\) ，等概率选择一个位置进行操作，要将该串全部删除，求期望操作次数

分析

首先考虑 \(m=0\) 的情况，那么在串中就只有 \(n\) 个 \(1\) ，进行一次操作，无论选取哪个位置，都会变为 \(n-1\) 个 \(1\) ，以及 1 个 \(0\) ，对于下一次操作，就有 \(\frac{1}{n}\) 的概率选中为 \(0\) 的位置，将其删除，变为含有 \(n-1\) 个 \(1\) 的 \(01\) 串，或者是以 \(\frac{n-1}{n}\) 选中一个为 \(1\) 的位置，将其变为 \(0\) ，但同时，该串中的另一个 \(0\) 就会变为 \(1\) ，仍然为 \(n-1\) 个 \(1\) ，\(1\) 个 \(0\) 的串，设 \(g(i)\) 为含有 \(i\) 个 \(1\) ，不含 \(0\) 的串，则期望操作数为 : \(g(i) = 1 + \frac{1}{i} \times g(i-1) + \frac{i-1}{i} \times g(i)\)

经过移项整理，我们可以得到 \(g(i) = i + g(i-1) + 1\) ，将 \(g(0)=0\) 代入推导，可得 \(g(i)=\frac{(i+3)\times i}{2}\)

之后，我们考虑 \(m!=0\) 时，设 f(i) 为有 \(n\) 个 \(1\) ， \(i\) 个 \(0\) 的串需要操作的期望数，显然，我们有 \(\frac{i}{n+i}\) 的概率选中 \(0\) ，将其变为一个 \(n-1\) 个 \(1\) ， \(i\) 个 \(0\) 的串 ，对该串的期望操作数即为 \(f(i-1)\) ，同时，我们有 \(\frac{n}{n+i}\) 的概率选到一个 \(1\) ，将其变为 \(0\) ,同时将其余的 \(i\) 个 \(0\) 变为 \(1\) ,变为一个 \(n+i-1\) 个 \(1\) ， \(1\) 个 \(0\) 的串，此时，该串的期望操作数就是 \(g(n+i)-1\)

由此，我们可以得到一般的递推式：设 \(f(i)\) 表示有 \(n\) 个 \(1\) ， \(i\) 个 \(0\) 的串的期望操作次数，则 \(f(i)=1+\frac{i}{n+i} \times f(i-1) + \frac{n}{n+i} \times (g(n+i)-1)\) ， \(f(0)=g(n)\)

递推即可

https://www.luogu.com.cn/problem/P6154

题意简述

定义一个图中的一条路径长度为经过的边数，在图中等概率地选择一条路径（路径的起点与终点可以相同），求一个有向无环图的期望路径长度

分析

对于整个图来说，因为期望的和等于和的期望，那么设 \(sum\) 为所有路径长度的总和， \(cnt\) 为路径数量，则期望为 \(E(X)=\frac{sum}{cnt}\)

只需维护以 \(i\) 为起点的路径数及其路径长度总和，记忆化搜索即可

Code

ll a[maxn],b[maxn];//a[]表示以 i 为起点的路径长度总和，b[] 表示以 i 为起点的路径总数
vector<ll> e[maxn];//存图

inline void dfs(ll x)//记忆化搜索
{
	if(b[x]) return ;
	b[x]=1;
	for(int i=0;i<e[x].size();i++)
	{
		ll y=e[x][i];
	
		dfs(y);
		
		(a[x]+=a[y]+b[y])%=mod;
		(b[x]+=b[y])%=mod;
	}
}