莫比乌斯反演（小结）

莫比乌斯反演在简化一些的数学算式，优化时间的方面效果显著，属于一种数学方法

在一些数学问题中，使用反演与整出分块的方法可以大大优化程序的运行效率

前置知识

符号：

规定：a⊥b的意思为：a与b互质
规定：[ X ] 的意思为：判断 X 是否为真，是则返回 1 ，否则返回 0，相当于一个bool类型的变量
ps: 本文的数论函数一般用加粗字母（在数学公式中函数的为数论函数，未加粗 ~~（不会）~~）或希腊字母表示，如f ,g , \(\mu\)

数论函数

定义：函数 f(x)为数论函数，是指其定义域为正整数域，陪域（可理解为值域）为复数域的函数
定义：数论函数加法： ( f+g )（x）=f(x)+g(x)
定义：数论函数数乘： x · f(n) = （x f） (n)
定义：积性函数：设有数论函数 f ，对于任意互质的两个正整数 x，y , 均有： \(f（xy）= f(x) \times f(y)\)，则称函数 f 为积性函数
定义：完全积性函数：设有数论函数 f ，对于任意的两个正整数 x , y ,均有： \(f( xy ) = f( x ) \times f( y )\)，则称函数 f 为完全积性函数

常见的积性函数：

1.除数函数：\(\sigma_k(n)\)，表示 n 的所有约数的 k 次幂之和

2.欧拉函数：\(\varphi(n)\)，表示不超过 n 且与 n 互质的正整数的个数

3.莫比乌斯函数：\(\mu(n)\)，当 n = 1 时，函数的值为 1 ，当 n 可以表示为k个不同的质数之积时，函数的值为 \(（-1)^k\)，其余情况下，函数的值为 0

常见的完全积性函数

1.幂函数：\(Id_k(n) = n^k\)

2.单位函数：\(\varepsilon(n)\)，当 n 等于 1 时，函数的值为 1 ，当 n 大于 1 时，函数的值为 0

既然积性函数的性质为：\(f(nm)=f(n) \times f(m)\)，那么就可以对一个积性函数利用线性筛在\(O(n)\)的复杂度内将 1~n 之间的所有函数值处理得到

狄利克雷卷积

定义：狄利克雷卷积：设有两个数论函数 f 和 g ,则定义 f * g （n）= \(\sum_{i|n} f (i) g (\frac{n}{i})\) ,其中卷积符号为 *，而非乘法运算符\(\times\)

狄利克雷卷积满足一些性质：

1.交换律：f * g (n) = g * f (n) ，将其展开，即可证明

2.结合律：( f * g ) * h (n) = f * ( g * h ) (n) ，将其展开，变为：\(\sum_{i(jh)=n}{(f(i)g(h))h(k)}\),交换枚举顺序，有：\(\sum_{i(jh)=n}{f(i)(g(h)h(k))}\),即可证明

3.分配率：f * h + g * h =（f + g ）* h ，还是展开：有：\(\sum_{ik=n}{f(i)h(k)} + \sum_{jk=n}{g(j)h(k)}\),做一步提取公因式，有：\(\sum_{k|n}{h(k)[g(\frac{n}{k})+f(\frac{n}{k})]} = \sum_{k|n}{h(k)}{(f+g)(\frac{n}{k})}\)，故等式成立

4.数乘：（x f）* g = x ( f * g )~~（显然易证）~~

5.单位元： f * \(\varepsilon\) = f

6.逆元：设有数论函数 f ，则存在一个数论函数 g ，使得 f * g = \(\varepsilon\) ，则称数论函数 g 为 f 的逆元

7.若 f ， g 为积性函数，则 f * g 亦为积性函数

8.\(\mu * I = \varepsilon (\varepsilon(n) = [n=1] , I(n)=1)\)

9.\(\varphi * I = id ~ (id(n) = n)\)

简证：该式子运用卷积，可以转化为： \(\sum_{d|n}{\varphi(d)}\)

当 \(n\) 有且仅有一个质因子时，可以转化为 \(\sum_{i=1}^{k}{p^i} \times \frac{p-1}{p} + 1\)
，即为一个简单的等比数列，经化简，即可得到该式等于 \(n\)

其他情况下，即为每一个质因子都做如上式运算，即有 \(\sum_{j=1}^{k}{\sum_{i_j=1}^{m_j}{\varphi({p_j}^{i_j})}}\) ，就等于 \(n\)

10.\(\mu * id = \varphi\)