洛谷 P1082 同余方程
源代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<cstring>
using namespace std;
long long x, y;//目前方程真正的解 void exgcd(long long a, long long b) { //当前目的：求解 ax + by = gcd(a, b) 这么一个方程 if(b == 0) //a, b不断改变的过程中，b最终必然会成为0 {
x = 1;//当 b=0 时，方程若要成立，则只需令 x=1,y=0 y = 0; return; } exgcd(b, a % b);//把下一层系数传进去（先求下一个方程的解 ） //现在我们已经拿到了下一个方程的解x, y long long tx = x;//暂时存一下x，别丢了 x = y; y = tx - a / b * y; } int main() { long long a, b; cin >> a >> b; exgcd(a, b); x = (x % b + b) % b;//我们求出来的x必然满足方程，但不一定是最小正整数解，所以要进行答案处理 printf("%lld\n", x); return 0; }
这一道题是zhx大佬上课布置下的数论题，求 ax mod b =1 的最小正整数解 x，就要用到扩展欧几里得来求解。
但作为一名蒟蒻，还是有所借鉴：https://www.luogu.com.cn/blog/cicos/solution-p1082 %%%orz
进入正题！
1.首先，若要求 ax mod b = 1 的最小正整数解 x，即为求解不定方程：ax+by=1 ；（注：扩展欧几里得算法可以适用于所有的 ax + by = gcd（a ，b）的不定方程）
原理为：不定方程 ax + by =m 有解的必要条件是：m mod gcd（ a ，b ）= 0
证明：因为 a 为 gcd（ a ，b ）的倍数，b 也为 gcd（ a ，b ）的倍数
又因为 a，b 均为整数，所以 ax + by 也是 gcd（ a ，b ）的倍数
而 m = ax + by ，那么 m 就是 gcd（ a ，b ）的倍数， 故 m mod gcd（ a ，b ）= 0
2. 设 gcd（ a ，b ）= n ，求 ax + by = n ， 可以假设，如果我们事先拥有一组解 p，q，使得 bp + （ a mod b）q = n ；
那么就一定会有：ax + by = bp +（ a mod b ）q
当这一假设成立时，我们就可以将目标转化为：求出上述式子中能够满足的 x，y ；此时，我们就可以通过求出一组解来推得 x 的最小正整数解
3. 取模运算的实质：a mod b = a - b *（ a / b ） ，则上述的等式可进行转化。
即为：bp +（ a mod b ）q = b*p + （ a - b *（ a / b ））*q = b*p + a*q - b *（ a / b ）* q = a * q + b * （ p -（ a / b ）* q ）
此时，我们可以看出，满足不定方程的一组解就是 ：x = q ，y = p -（ a / b ）* q；
那么，我们就需要进一步地，尽可能地将这一假设满足，就需要再求出 p 和 q
但是，为了要求出 p ，q ，我们又可以写出新的不定方程来尽可能地求出 p 和 q ，而过程就和上述的 1 ，2 ，3 一样，在不断地循环，寻找着能够支持上一组数据的解
这便形成了一种递归
4.递归需要设立终止条件，而在这个过程中，a 会被不断地替换成为 b ， 而 b 会被不断地替换为 a mod b （和辗转相除法一样）
最后，我们会得到 an = n ，bn = 0 ；
那么把它回代，即得：an * x + bn * y = n * x + 0 * y = n ；
那么，只要当 x = 1 时，等式即可成立 ，那么只要将其继续回代，就能求出最终的一组答案（并不一定是最小正整数解）
总结一下，扩展欧几里得算法和辗转相除法类似，也都是递归，就是在有限的递归过程中缩小系数，确定最后一组解。
最后，只要将答案 x 化为一个最小正整数即可。
