积性函数与狄利克雷卷积

积性函数

定义

设$f\left(n\right)$为数论函数，若：
$\left(1\right)f\left(1\right)=1$
$\left(2\right)$若$(a,b)=1,f\left(ab\right)=f\left(a\right)f\left(b\right)$
则称$f$为积性函数。

重要性质

积性函数的和函数也是积性函数。
用数学语言表示：
若$f$为积性函数，则$F\left(n\right)=\sum _{d\mid n}^{n}f\left(d\right)$也是积性函数。
证明：
$F\left(a\right)F\left(b\right)$
$=\sum _{d_1\mid a}^{a}f\left(d_1\right)\sum _{d_2\mid b}^{b}f\left(d_2\right)$
$=\sum _{d_1\mid a}^a\sum _{d_2\mid b}^{b}f\left(d_1\right)f\left(d_2\right)$
$\because (a,b)=1$
$\therefore (d_1,d_2)=1$
$\therefore f\left(d_1\right)f\left(d_2\right)=f\left(d_1{d}_2\right)$
$\therefore F\left(a\right)F\left(b\right)=\sum _{d_1\mid a}^a\sum _{d_2\mid b}^{b}f\left(d_1{d}_2\right)$
$=\sum _{d\mid ab}^{ab}f\left(d\right)$
$=\sum _{d\mid n}^{n}f\left(d\right)=F\left(n\right)$
$\therefore F\left(n\right)$为积性函数

常见积性函数

单位函数$id\left(n\right)=n$
幂函数$I_k\left(n\right)=n^k$
元函数$\epsilon \left(n\right)=\{\begin{array}{l}1\cdots [n=1]\\ 0\cdots \left[otherwise\right]\end{array}$
因数和函数$\sigma \left(n\right)=\sum _{d\mid n}^{n}d$
因数个数函数$d\left(n\right)=\sum _{d\mid n}^{n}1$
记$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{c_i}$（$p_i$为质数）
欧拉函数$\phi \left(n\right)=n\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$
莫比乌斯函数$\mu \left(n\right)=\{\begin{array}{l}1\cdots [n=1]\\ 0\cdots [\mathrm{\exists }i\in [1,k],c_i>0]\\ {(-1)}^k\cdots [\mathrm{\forall }i\in [1,k],c_i=1]\end{array}$

狄利克雷卷积

定义

定义一种新运算$\ast$，$h=f\ast g$的定义是$h\left(n\right)=\sum _{d\mid n}^{n}f\left(d\right)g\left(\frac{n}{d}\right)$

性质

$(1)$交换律$f\ast g=g\ast f$
$(2)$结合律$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
$(3)$分配率$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$
$(4)$积性函数的卷积仍是积性函数
简单不证