翡蜀定理与算数基本定理的证明

翡蜀定理

设\(a,b\in \mathbb{Z},d=gcd\left(a,b\right)\)，那么一定\(\exists x,y\in\mathbb{Z},ax+by=d\)。
证明：
\(\because d=gcd\left(a,b\right)\)
\(\therefore d\mid a,d\mid b\)
\(\therefore \forall x,y\in\mathbb{Z},d\mid ax+by\)
设\(s=\left(ax+by\right)\)的最小正值，令\(q=\left\lfloor\frac{a}{s}\right\rfloor\)，\(r=a\left(mod\ s\right)=a-q\left(ax+by\right)=a\left(1-qx\right)-bqy\)
\(\therefore d\mid r,0\le r<s\)
\(\because s=\min\left(ax+by\right)\)
\(\therefore r=0\)
\(\therefore s\mid a\)
同理有\(s\mid b\)
\(\therefore s\)是\(a,b\)的公约数。
\(\because d=gcd\left(a,b\right)\)
\(\therefore d\ge s\)
\(\because d\mid ax+by\)
\(\therefore d\mid s\)
\(\therefore d\le s\)
\(\therefore d=s\)
\(\therefore \exists x,y\in\mathbb{Z},ax+by=d\)且\(d\)是\(ax+by\)的最小值。

算数基本定理

\(\forall n\in\mathbb{N},n>2,n\)可以被唯一表示为\(\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}}\)的形式，其中\(p_{i}\)为质数，\(c_{i}\in\mathbb{N_{+}}\)。
算数基本定理的证明分两部分。

存在性

设\(n\)为最小的不满足算数基本定理的正整数。
\(\therefore n\)不是质数。
\(\therefore\)设\(n=ab\)
若\(a,b\)均为质数，则与假设矛盾。
若\(a,b\)中有一个合数，由于\(n\ge a,n\ge b\)，所以\(a,b\)满足算数基本定理，所以\(n\)也满足算数基本定理。

唯一性

先证明一个引理。

欧几里得引理

如果\(p\mid ab\)，那么\(p\mid a\)或\(p\mid b\)
证明：
如果\(p\mid a\)，那么得证。
如果\(p\nmid a\)，那么\(gcd\left(p,a\right)=1\)
由翡蜀定理有，\(\exists x,y\in\mathbb{Z},ax+py=1\)
\(\therefore b=b\left(ax+py\right)=abx+bpy\)
\(\because p\mid ab\)
\(\therefore p\mid abx+bpy\)即\(p\mid b\)

证明

设\(n\)是最小的可以不唯一表示的数，\(n=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}=\prod\limits_{i=1}^{s}q_{i}^{b_{i}}\)
显然有\(p_{1}\mid \prod\limits_{i=1}^{s}q_{i}^{b_{i}}\)
由引理得，\(\exists 1\le i\le s,p_{1}\mid q_{i}^{b_{i}}\)
即\(\exists 1\le i\le s,p_{1}\mid q_{i}\)
不妨设\(p_{1}\mid q_{1}\)，由于\(q_{1}\)也是质数，所以\(p_{1}=q_{1}\)
如果\(a_{1}>b_{1}\)，那么\(p_{1}^{a_{1}-b_{1}}\prod\limits_{i=2}^{k}p_{i}^{a_{i}}=\prod\limits_{i=2}^{s}q_{i}^{b_{i}}\)，再次使用上面的方法有\(\exists 2\le i\le n,p_{1}=q_{i}\)，但是\(q_{1}\ne q_{i}\left(i\ne 1\right)\),所以\(a_{1}\le b_{1}\)
同理有，\(a_{1}\ge b_{1}\)
\(\therefore a_{1}=b_{1}\)
\(\therefore n_{0}=\prod\limits_{i=2}^{k}p_{i}^{a_{i}}=\prod\limits_{i=2}^{s}q_{i}^{b_{i}}\)也可以不唯一表示，这与\(n\)的最小性矛盾，所以算数基本定理的唯一性得证。

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综上所述，算数基本定理得证。