洛谷题单指南-图论之树-P1395 会议

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1395

题意解读：在一棵树中找一个点，使得该点到其他点距离之和最小，所有点之间边长度为1。

解题思路：要计算与所有点距离之和最小的，需要因此树的重心的概念。

树的重心

定义

树的重心也称为树的质心。对于一棵无根树，如果选择一个节点作为根节点，会将树转化为有根树。此时，每个节点都有若干棵子树，我们定义一个

点的 “最大子树节点数” 为该节点所有子树中节点数量的最大值。树的重心就是使得 “最大子树节点数” 最小的那个节点。也就是说，当我们删除这个

点时，剩余各个连通块中节点数最多的那个连通块的节点数达到最小。

性质

存在性：任何树至少有一个重心，最多有两个重心。如果树有两个重心，它们一定是相邻的。

平衡性：删除重心后，剩下的子树的大小不会超过原树大小的一半。

距离和最小：树中所有节点到重心的距离之和是最小的。如果树有两个重心，那么所有节点到这两个重心的距离之和相等。

增减叶子节点：在一棵树中添加或删除一个叶子节点，树的重心最多只会移动一条边的距离。

求解思路

可以使用深度优先搜索（DFS）来求解树的重心。基本步骤如下：

任选一个节点作为根节点，对树进行深度优先遍历；

在遍历过程中，对于每个节点，计算以它为根的子树的节点数量；

同时，计算删除该节点后，剩余各个连通块中节点数的最大值；

遍历完所有节点后，找出使得这个最大值最小的节点，即为树的重心。

回到此题，分两步即可解决：

1、从任意点开始，通过一次dfs找到树的重心

2、从重心开始dfs，计算到所有点的距离之和

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 50005;

vector<int> g[N];
int n;
int c; //重心
int minmaxw = INT_MAX; //删除某节点后，剩余最大子树节点数的最小值
int sz[N]; //sz[u]表示以u为根的子树的节点数
int ans;

//求重心
void dfs1(int u, int parent)
{
    sz[u] = 1; //当前u节点所在子树个数，初始化1，u自己
    int maxw = 0; //删除u后所有子树节点数最大值
    for(auto v : g[u]) //枚举删除u后的所有子树
    {
        if(v == parent) continue;
        dfs1(v, u); //递归计算所有子树的节点数
        sz[u] += sz[v]; //累加u子树节点数
        maxw = max(maxw, sz[v]); //记录删除u后所有子树最大节点数
    }

    maxw = max(maxw, n - sz[u]); //n - sz[u]是除u子树之外的子树节点数，前面已经遍历过的
    if(maxw < minmaxw || maxw == minmaxw && u < c)
    {
        minmaxw = maxw;
        c = u; //记录序号较小的重心
    }
}

//从u出发，计算到所有点的距离之和
void dfs2(int u, int parent, int depth)
{
    ans += depth;
    for(auto v : g[u])
    {
        if(v == parent) continue;
        dfs2(v, u, depth + 1);
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    int u, v;
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(c, 0, 0);
    cout << c << " " << ans;
    return 0;
}