洛谷题单指南-进阶搜索-P1763 埃及分数

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1763

题意解读：将分数a/b拆分成若干个1/x的和，要求x递增，且拆分的个数越少越好，个数相同时最后一个x越小越好。

解题思路：

首先，比较明显的是可以用搜索来解决问题。

但是，如果用常规的DFS，搜索的深度有可能很深，因为每一个分母的最大值可以取到1e7，可能会爆栈；再考虑BFS，每一层状态数量也是巨大的，又可能会使得队列爆内存。

既然要求产分的个数越少越好，就可以想到对于搜索深度进行限制，逐渐递增，即迭代加深搜索。

通过每次枚举一个拆分项的分母，从a/b减掉该项后不断递归。

有几种重要的剪枝：

1、如果搜索深度超过当前最大深度，则返回

2、每次对拆分项分母枚举时，应该至少比上一次的大，并且a/b >= 1/x，所以x的枚举起点是max(上一次的分母+1，b/a+1)

3、每次枚举的拆分项，显然是后面结果中最大，如果接下来所有拆分项都是这个值，加起来都<=a/b,那么显然无解，也就是不满足(maxdepth-depth+1)*1/x<=a/b时可以提前结束枚举，加上此剪枝后，算法就有迭代加深变成了启发性搜索IDA*

仅有以上优化，还无法得到100分，此题还有一个关键的优化：对分母最大值的限制：1e7

如果每次都判断分母不超过1e7，也是比较耗时，这里就引入一种双重迭代加深方法：

第一层，针对搜索深度进行迭代加深，每次加1

第二层，针对分母最大限制进行迭代加深，初始1000，每次乘10

这样在dfs过程中，如果当前分数的分母b>最大分母限制，就可以提前结束了，这是因为a/b如果b超过maxb，那么a/b拆解出最后一个分数1/x的x必然大于maxb。

小知识：为什么迭代加深搜索不会超时？

迭代加深从限制深度1开始，每次加1，不会超时，因为假设在深度k的时候找到答案，且每一层都是满状态，以满二叉树为例，最后一层状态数为2^(k-1)，而前k-1层状态数加起来也不过2^k-1 - 2^(k-1)，还是在2^(k-1)级别，与最后一层复杂度同级别，所以最后一层不超时的情况，整体并不会导致超时。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll a, b;
vector<int> tmp, ans;

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

//a/b表示当前的分数，depth表示当前深度，start表示下一个加数的分母的起始值，maxb表示分母的最大值，maxdepth表示最大深度
void dfs(ll a, ll b, int depth, ll start, int maxb, int maxdepth)
{
    if(depth > maxdepth) return; //剪枝，如果当前深度大于最大深度，那么就不用继续搜索了
    ll d = gcd(a, b);
    a /= d, b /= d; //将a和b约分
    if(b > maxb) return; //***剪枝，如果b大于最大分母，那么就不用继续搜索了
    if(a == 1 && b > tmp.back()) //最后一个加数的分母必须是最大的
    {
        tmp.push_back(b);
        if(ans.size() == 0 || (tmp.size() == ans.size() && tmp.back() < ans.back())) ans = tmp;
        tmp.pop_back(); 
        return;
    }
    
    start = max(start, b / a + 1); //剪枝,从b/a+1开始搜索,这样可以避免重复搜索
    for(int i = start; ; i++) //枚举下一个加数的分母
    {
        if(b * (maxdepth - depth + 1) < a * i) break; //剪枝,如果当前深度到最大深度的剩余搜索空间都不够，那么就不用继续搜索了
        if(i > maxb) break; //剪枝,如果当前分母大于最大分母，那么就不用继续搜索了
        tmp.push_back(i);
        dfs(a * i - b, b * i, depth + 1, i + 1, maxb, maxdepth);
        tmp.pop_back();
    }
} 

int main()
{
    cin >> a >> b;
    for(int maxdepth = 1; maxdepth <= 10; maxdepth++) //迭代加深最大深度
    {
        for(int maxb = 1000; maxb <= 10000000; maxb *= 10) //迭代加深分母的最大值
        {
            dfs(a, b, 1, 1, maxb, maxdepth);
            if(ans.size()) break; //如果找到解，那么就不用继续增加最大分母
        }
        if(ans.size()) break; //如果找到解，那么就不用继续增加最大深度
    }
    for(auto v : ans) cout << v << " ";
    return 0;
}