洛谷题单指南-线段树-P3373 【模板】线段树 2

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3373

题意解读：对于序列a[n]，支持三种操作：1.对区间每个数乘上一个数 2.对区间每个数加上一个数 3.求区间和

解题思路：由于支持乘、加两种区间修改操作，是线段树的另一种典型应用：多个懒标记

显然，这里需要两个懒标记，mul表示对子节点区间每个数乘mul，add表示对子节点区间每个数加上add，节点定义如下：

struct Node 
{
    int l, r;
    LL sum; //区间和
    LL mul; //懒标记，子节点区间每个数乘上mul，默认值为1
    LL add; //懒标记，子节点区间每个数加上add，默认值为0
} tr[N * 4];

下面就要考虑sum、mul、add如何修改的问题

对于一个节点u，

如果要对其区间每个数乘mul，则有tr[u].sum = tr[u].sum * mul

如果要对其区间每个数加add，则有tr[u].sum = tr[u].sum + (tr[u].r - tr[u].l + 1) * add

在区间更新时，可以把乘和加统一成一个操作：tr[u].sum = tr[u].sum * mul + (tr[u].r - tr[u].l + 1) * add（加操作时mul设置为1，乘操作时add设置为0）

上面解决了sum修改的问题，接下来，就要看mul、add如何修改，关键在于要考虑mul、add的优先级？

1、先加后乘

假设先执行加法，后执行乘法，那么对于懒标记mul，add，意味着对其区间每一个数x都执行(x + add) * mul，

如果再来一个加add'操作，区间每一个数变成(x + add) * mul + add'，不难分析，无法通过将add、mul进行更新得到形如(x + add) * mul的形式，

所以先加后乘不可行。

2、先乘后加

假设先执行乘法，后执行加法，那么对于懒标记mul，add，意味着对其区间每一个数x都执行x * mul + add，

如果再来一个加add'操作，区间每一个数变成x * mul + add + add'，显然通过将add += add'，即可以通过x * mul + add得到正确的结果；

如果再来一个乘mul'操作，区间每一个数变成(x * mul + add) * mul' = x * mul * mul' + add * mul'，显然通过将mul *= mul', add * mul'，即可以通过x * mul + add得到正确的结果。

确定了操作优先级，也就确定了懒标记的更新方式，可以将乘和加统一处理：

对于一个节点u，对其区间每个数乘mul，加add，如果只加则mul=1，如果只乘则add=0，懒标记更新方式为：

tr[u].mul = tr[u].mul * mul

tr[u].add = tr[u].add * mul + add

修改节点信息代码为：

void addtag(int u, LL mul, LL add)
{
    tr[u].sum = (tr[u].sum * mul + (tr[u].r - tr[u].l + 1) * add) % m;
    tr[u].mul = tr[u].mul * mul % m;
    tr[u].add = (tr[u].add * mul + add) % m;
}

最后要注意的还是开long long。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100005;

struct Node 
{
    int l, r;
    LL sum; //区间和
    LL mul; //懒标记，子节点区间每个数乘上mul，默认值为1
    LL add; //懒标记，子节点区间每个数加上add，默认值为0
} tr[N * 4];
LL a[N];
int n, q, m;

void pushup(int u)
{
    tr[u].sum = (tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum) % m;
}

void build(int u, int l, int r)
{
    tr[u] = {l, r, 0, 1, 0};
    if(l == r) tr[u].sum = a[l];
    else
    {
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void addtag(int u, LL mul, LL add)
{
    tr[u].sum = (tr[u].sum * mul + (tr[u].r - tr[u].l + 1) * add) % m;
    tr[u].mul = tr[u].mul * mul % m;
    tr[u].add = (tr[u].add * mul + add) % m;
}

void pushdown(int u)
{
    addtag(u << 1, tr[u].mul, tr[u].add);
    addtag(u << 1 | 1, tr[u].mul, tr[u].add);
    tr[u].mul = 1;
    tr[u].add = 0;
}

LL query(int u, int l, int r)
{
    if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
    else if(tr[u].l > r || tr[u].r < l) return 0;
    else
    {
        pushdown(u);
        return (query(u << 1, l, r) + query(u << 1 | 1, l, r)) % m;
    }
}

void update(int u, int l, int r, LL mul, LL add)
{
    if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) addtag(u, mul, add);
    else if(tr[u].l > r || tr[u].r < l) return;
    else 
    {
        pushdown(u);
        update(u << 1, l, r, mul, add);
        update(u << 1 | 1, l, r, mul, add);
        pushup(u);
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> q >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    build(1, 1, n);
    int op, x, y, k;
    while(q--)
    {
        cin >> op >> x >> y;
        if(op == 1) 
        {
            cin >> k;
            update(1, x, y, k, 0); //乘k加0
        }
        else if(op == 2)
        {
            cin >> k;
            update(1, x, y, 1, k); //乘1加k
        }
        else cout << query(1, x, y) << endl;
    }
}