洛谷题单指南-二叉堆与树状数组-P2827 [NOIP2016 提高组] 蚯蚓

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2827

题意解读：初始n个数，每次取最大值x，根据u/v分成两部分：x * u / v，x - x * u / v，然后其余数都增加q，整个过程重复m次。

输出有两类数据：第t，2t，3t...次取出的最大值；最后剩余的数第t，2t，3t...个，从大到小输出。

解题思路：

直观上，通过模拟法可以实现本题，要每次取最大值，可以借助优先队列。

但是，问题在于，每次如果把剩余数都增加q，意味着每次都有O(n)的复杂度，最终复杂度为O(m * n)。

转念一想，把剩余数增加q，可以变成把切断的两个数都减去q，其余数不变，然后记录这个累加值，后面再进行还原即可。

分析一下复杂度，超过O(m * log n) ， 7*10^6*log(100000) 仍然会超过10^8，可以得到部分分。

85分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
int n, m, q, u, v, t;
priority_queue<ll> pq;

int main()
{
    cin >> n >> m >> q >> u >> v >> t;
    int x;
    int add = 0; //每个数都应该增加值
    while(n--)
    {
        cin >> x;
        pq.push(x);
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        //从优先队列取最大值，并还原应该的值
        ll mx = pq.top() + add;
        if(i % t == 0) cout << mx << " ";
        pq.pop();
        //将mx分成两部分
        ll part1 = mx * u / v;
        ll part2 = mx - part1;
        //其余部分增加q相当于将part1、part2减去q，还要减去累计的值add
        part1 = part1 - q - add;
        part2 = part2 - q - add;
        //将part1，part2加入优先队列
        pq.push(part1);
        pq.push(part2);
        add += q; //每个数都应该增加的值+q
    }
    cout << endl;
    int i = 0; 
    while(pq.size())
    {   
        if(++i % t == 0) cout << pq.top() + add << " ";
        pq.pop();
    }
    return 0;
}

如何进一步优化？不难分析，每次取最大数分成两部分，得到的较小的数、较大的数一定分别都是单调不增的，那么就没必要维护优先队列，

只需要定义三个队列q0,q1,q2，q0来保存原始数由大到小排序，q1保存每次拆分后的较小值，q2保存每次拆分后的较大值，这样q0,q1,q2都能保证是从大到小排序，每次取最大数时，只需要比较三个队列头，取最大的那一个即可。

时间复杂度就降为O(m)。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100005;
int n, m, q, u, v, t;
ll a[N]; //蚯蚓长度
queue<ll> que[3]; //que[0]存蚯蚓长度从大到小，que[1]存切后较小长度，que[2]存切后较大长度

int main()
{
    cin >> n >> m >> q >> u >> v >> t;    
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1, greater<int>());
    for(int i = 1; i <= n; i++) que[0].push(a[i]);

    int add = 0; //每个数都应该增加值
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int maxn = 0;
        ll maxx = LLONG_MIN;
        for(int j = 0; j < 3; j++)
        {
            if(que[j].size() && que[j].front() > maxx)
            {
                maxn = j;
                maxx = que[j].front();
            }
        }
        que[maxn].pop();
        maxx += add; //还原本来值
        if(i % t == 0) cout << maxx << " ";
        //将maxx切成两部分
        ll part1 = maxx * u / v;
        ll part2 = maxx - part1;
        //其余部分增加q相当于将part1、part2减去q，还要减去累计的值add
        part1 = part1 - q - add;
        part2 = part2 - q - add;
        //短的加入que[1]，保证que[1]是单调递减
        que[1].push(part1);
        //长度加入que[2]，保证que[2]是单调递减
        que[2].push(part2);
        //每个数要增加值更新
        add += q;
    }

    cout << endl;

    for(int i = 1; i <= n + m; i++)
    {
        int maxn = 0;
        ll maxx = LLONG_MIN;
        for(int j = 0; j < 3; j++)
        {
            if(que[j].size() && que[j].front() > maxx)
            {
                maxn = j;
                maxx = que[j].front();
            }
        }
        que[maxn].pop();
        if(i % t == 0) cout << maxx + add << " ";
    }
    
    return 0;
}