洛谷题单指南-字符串-P6824 「EZEC-4」可乐

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6824

题意解读：已知整数序列a[i]，i在1~n，有整数k，求一个整数x，要求a[i] ^ x <= k，使得符合要求的a[i]数量最多，求这个数量。

解题思路：

1、确定x的范围

由于a[i] ^ x <= k，因此，x的有效二进制位不可能超过a[i]，而a的取值范围<=1000000，因此x差不多最多20位，取值范围是0~2^20 - 1

2、分情况讨论

对于每一个a[i]，枚举a[i]和k的每一个二进制第j位（第一位是0），设定初始x = 0

如果k的第j位是1：

  当a[i]的第j位是1：  

    x的第j位如果取1，异或之后得0，j之后随便取都能保证结果比k小，因此得到一个有效的x的范围 [x + (1 << j), x + (1 << j + 1) - 1]

    x的第j位如果取0，还需要继续处理j之后的二进制位，此时x的值依然是x 

  当a[i]的第j位是0：

    x的第j位如果取0：异或之后得0，j之后随便取都能保证结果比k小，因此得到一个有效的x的范围[x, x + (1 << j) - 1]

    x的第j位如果取1：还需要继续处理j之后的二进制位，此时x的值更新为x + (1 << j)

如果k的第j位是0：

  x的第j位必须和a[i]的第j位一致，异或之后才得0，才能保证结果不超过k，此时x根据a[i]第j位的情况来更新

    如果a[i]第j位是1，x更新为x + (1 << j)，否则x值还是x

最后得到的x也是一个有效的x

3、差分统计

对于以上分情况讨论中，得到的有效x的区间，最后统计一个覆盖最多的x的即可，可以借助于哈希数组

定义数组s[1 << 20]，s[i]表示满足a ^ i <= k的a的数量

当找到一个有效的x的范围，对范围内每一个元素加1即可，如何快速实现区间加1？可以借助于差分数组，定义c[1 << 20]来进行区间加1操作，最后再还原s数组，找到s中最大值即是答案。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000005, X = (1 << 20); //X取值范围，是a[i]对应值的有效二进制位的最大值
int n, k, a[N], c[X], s[X], ans;

//利用差分数组c[]将l~r区间每个数加上1
void update(int l, int r)
{
    c[l]++;
    c[r + 1]--;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    for(int i = 1; i <= n; i++) //对每一个a[i]按位与k进行比较
    {
        int x = 0; //x初始值
        for(int j = 20; j >= 0; j--) //枚举a[i]和k的每一位
        {
            if(k >> j & 1) //k的第j位是1
            {
                if(a[i] >> j & 1) //a[i]的第j位也是1
                {
                    //x的第j位如果是1，后面是多少都可以满足
                    //对应到x的取值范围是x + (1 << j) ~ x + (1 << j + 1) - 1
                    update(x + (1 << j), x + (1 << j + 1) - 1);

                    //x的第j位如果是0，还要继续看后面的，此时第j位的0对x没有贡献
                }
                else  //a[i]的第j位是0
                {
                     //x的第j位如果是0，后面是多少都可以满足
                     //对应到x的取值范围是x ~ x + (1 << j) - 1
                     update(x, x + (1 << j) - 1);

                     //x的第j位如果是1，还要继续看后面的，此时第j位的1对x有贡献
                     x += (1 << j);
                }
            }
            else //k的第j位是0
            {
                //x的第j位必须与a[i]的第j位相同，然后继续看后面的
                if(a[i] >> j & 1)
                {
                    x += (1 << j);
                }
            }
        }
        //最终得到的x是符合要求的
        update(x, x);
    }

    ans = c[0];
    s[0] = c[0];
    for(int i = 1; i < X; i++)
    {
        s[i] = s[i - 1] + c[i]; //还原前缀和
        ans = max(ans, s[i]); //取最大值即得到x能满足的最多的a[]的数量
    }
    printf("%d", ans);

    return 0;
}