洛谷题单指南-分治与倍增-P2345 [USACO04OPEN] MooFest G

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2345

题意解读：有n头牛，每头牛都有听力v、坐标x两个属性，要计算每两头牛的max{vi​,vj​}×∣xi​−xj​∣ 之和。

解题思路：

首先想到的肯定是枚举法，需要O(n^2)的复杂度

有没有优化的方法？

可以采用分治法！

由于是计算两头牛之间的max{vi​,vj​}，那不如将牛按听力排序，这样后面的牛听力一定大于前面的牛，max{vi​,vj​}就固定了

∣xi​−xj​∣怎么优化？

$将排序后的牛按中点分成两部分，$由于后一部分的牛听力大于前一部分的牛，那么对于后一部分的每一头牛，贡献的音量之和为：

该头牛的听力 * （该头牛的坐标 * 前一部分坐标比该头牛小的数量 - 前一部分坐标小于该头牛的坐标之和） +

该头牛的听力 *（前一部分坐标大于该头牛的坐标之和 - 该头牛的坐标 * 前一部分坐标比该头牛大的数量）

如何快速的计算前一部分坐标大于某个值的分界点？

可以在分治的过程中，对两部分进行归并排序，按照x值排序，这样得到的两部分数据都是按x排好序的，可以通过前缀和、二分来快速找到前一部分

中第一个大于某个值的位置，进而快速求出前一部分坐标小于某个值的坐标之和，以及前一部分坐标大于某个值的坐标之和。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20005;

int n;
struct node
{
    int v, x;
} a[N];

long long ans;

bool cmp(node &a, node &b)
{
    return a.v < b.v;
}

void merge(int left, int right)
{
    
    if(left >= right) return;
    int mid = (left + right) / 2;
    merge(left, mid);
    merge(mid + 1, right);

    //对前半部分的x计算前缀和
    int s[N];
    for(int i = left; i <= mid; i++) 
    {
        s[i] = s[i - 1] + a[i].x;
    }
    //对后半部分每一个数求值
    for(int i = mid + 1; i <= right; i++)
    {
        //在前半部分二分查找第一个大于a[i].x的位置
        int l = left, r = mid, pos = mid + 1;
        while(l <= r)
        {
            int m = (l + r) / 2;
            if(a[m].x > a[i].x) pos = m, r = m - 1;
            else l = m + 1;
        }
        
        int sum1 = s[pos - 1]; //sum1是前半部分所有小于a[i].x的x的和
        int sum2 = s[mid] - s[pos - 1]; //sum2是前半部分所有大于a[i].x的x的和
        ans += 1ll * a[i].v * (a[i].x * (pos - left) - sum1) + 1ll * a[i].v * (sum2 - (mid - pos + 1) * a[i].x);
    }
    //按照x归并排序
    node tmp[N];
    int cnt = 0;
    int i = left, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= right)
    {
        if(a[i].x < a[j].x) tmp[++cnt] = a[i++];
        else tmp[++cnt] = a[j++];
    } 
    while(i <= mid) tmp[++cnt] = a[i++];
    while(j <= right) tmp[++cnt] = a[j++];
    for(int k = 1; k <= cnt; k++) a[left + k - 1] = tmp[k];
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].v >> a[i].x;
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    merge(1, n);
    cout << ans;
    return 0;
}