洛谷题单指南-分治与倍增-P1226 【模板】快速幂

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

题意解读：快速幂模版题。

解题思路：

1、分治法

要计算a^b，可以对b分情况讨论：

如果b是偶数，即b = 2t，a^b = a^t * a^t

如果b是奇数，即b = 2t + 1，a^b = a * a^t * a^t

很容易用递归实现

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, p;

//计算x^y%p
int ksm(int x, int y)
{
    if(y == 0) return 1 % p;
    int t = ksm(x, y / 2);
    if(y % 2 == 0) return 1ll * t * t % p;
    else return 1ll * x * t % p * 1ll * t % p;
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> p;
    printf("%d^%d mod %d=%d", a, b, p, ksm(a, b));
}

2、倍增法

基于任意整数都可以转换成若干个2的次幂之和，如14 = 2^1 + 2^2 + 2^4

这样一来，计算a^b，如果b=14，可以变成计算a^(2^1 + 2^2 + 2^4)

由于15用二进制表示为1110，因此可以通过移位操作来枚举14的每一个2的次幂，累乘即可

每移位一次，指数的二进制位置所表示的值都是之前的2倍，要累乘的值a = a * a，如果当前位是1，说明需要累乘，如果当前位为0，说明不需要累乘

下面模拟一下过程：

设结果res = 1，计算a^14

第一次：判断1110 & 1 == 0，不需要累乘， 1110右移一位变成111，a = a * a，这时a是初始a^2，res = 1

第二次：判断111 & 1 == 1, 需要累乘，res = res * a， 111右移一位变成11，a = a * a，这时a是初始a^4，res = 初始a^2

第三次：判断11 & 1 == 1，需要累乘，res = res * a，11右移一位变成1，a = a * a，这时a是初始a^8，res = 初始a^2*初始a^4

第四次：判断1 & 1 == 1，需要累乘，res = res * a，1右移一位变成0，结束，res = 初始a^2 * 初始a^4 * 初始a^8 = 初始a^14 

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, p;

//计算x^y%p
int ksm(int x, int y)
{
    int res = 1;
    while(y)
    {
        if(y & 1) res = 1ll * res * x % p;
        y = y >> 1;
        x = 1ll * x * x % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> p;
    printf("%d^%d mod %d=%d", a, b, p, ksm(a, b));
}