洛谷题单指南-常见优化技巧-P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2880

题意解读：在若干个不定长区间里，求区间最大值与最小值之差

解题思路：

对于区间求最值，通常有几种方式：

1、暴力法，通过枚举所有的区间来计算区间最值

2、单调队列，针对区间长度固定的情况

3、ST表，针对区间长度不固定且元素不会发生改变的情况

4、树状数组，针对区间长度不固定且元素会发生改变的情况

这里显然是一个ST表的模版题。

首先，看看暴力法计算区间最值的过程，以最大值为例：

for(int i = 1; i <= n; i++)
{   
    int maxx = a[i];
    for(int j = i + 1; j <= n; j++)
    {
        maxx = max(maxx, a[j]); //s[i][j]表示从a[i]~a[j]的最大值
        s[i][j] = maxx;
    }
}
        

 要枚举以所有元素开始的所有可能长度区间，整个复杂度是O(n^2)的。

 ST表基于这样的原理：

要计算区间[i, j]的最值，只需要计算[i, k]以及[k, j]的最值，其中[i,k]和[k,j]允许部分重叠

我们不需要预计算所有区间的最值，利用倍增的思想，我们只需要计算从每一个元素i开始，长度为2^j的区间的最值

设st[i][j]表示从i开始，长度是2^j的区间的最大值

根据定义可知：st[i][0] = a[i]

然后对st进行预处理：

for(int j = 1; j <= log2(n); j++) //枚举所有可能的区间长度2^j
{
    for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) //枚举区间起点
    {
        //从i开始长度为2^j的区间最大值 = max(从i开始长度为2^j/2的区间最大值，从i+2^j/2开始长度为2^j/2的区间最大值)
        st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
    }
}

对于给定区间[l，r]，如何计算最大值呢？

首选确定一个区间长度2^len，使得l开始长度为2^len的区间与r结束长度为2^len的区间重叠，这样[l,r]的最大值就是max(st[l][len], st[r-(1<<len)+1][r])

len的计算方式：

int len = log2(r - l + 1);

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 50005, M = 20; //M = log2(N) + 5

int n, q;
int a[N];
int st_max[N][M], st_min[N][M];

int main()
{
    cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        st_max[i][0] = st_min[i][0] = a[i];
    }

    for(int j = 1; j <= log2(n); j++)
    {
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
        {
            st_max[i][j] = max(st_max[i][j - 1], st_max[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            st_min[i][j] = min(st_min[i][j - 1], st_min[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }

    int l, r;
    while(q--)
    {
        cin >> l >> r;
        int len = log2(r - l + 1);
        int maxx = max(st_max[l][len], st_max[r - (1 << len) + 1][len]);
        int minx = min(st_min[l][len], st_min[r - (1 << len) + 1][len]);
        cout << maxx - minx << endl;
    }

    return 0;
}