洛谷题单指南-前缀和差分与离散化-P3406 海底高铁

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3406

题意解读：1-n个城市共了n段路，第i段路不买卡票价a[i]，买卡票价b[i](卡本身花费c[i])，给定一个路程顺序，计算最少的通行费用。

解题思路：

根据路程，计算每段路各走了多少次，然后对于每段路，计算买卡和不买卡两种花费，取较小的累加即可。

如何计算每段路走了多少次？

1、朴素做法

枚举所有区间，再对区间内所有的路段，通过桶数组来标记走过的次数，时间复杂度n*m

2、差分

定义差分数组d[]，对于每一个区间[l, r]，执行d[l] += 1, d[r] -= 1，即可将该区间覆盖的所有路段都加1

然后，根据差分数组还原前缀和数组，即可枚举每段路走的次数，计算买卡和不买卡两种花费，取较小值累加。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100005;

int s[N]; //每一段路走了几次
int d[N]; //s的差分数组
int p[N]; //路径
int a[N], b[N], c[N];
int n, m;
long long ans;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++) cin >> p[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    //对于每一段路程区间，用差分计算各段路走了多少次
    for(int i = 1; i < m; i++) 
    {
        int l = min(p[i], p[i + 1]);
        int r = max(p[i], p[i + 1]);
        d[l] += 1;
        d[r] -= 1;
    }
    //还原前缀和数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        s[i] = s[i - 1] + d[i];
    }
    //对于每一段路，取花费最小的方式
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans += min(1ll * s[i] * a[i], 1ll * s[i] * b[i] + c[i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}